Как репетитор по математике работает с темой «признаки равенства треугольников»

С темы «признаки равенства треугольников» фактически начинается изучение курса геометрии в 7 классе. В этот период репетитор по математике занимается построением очень важной основы предмета – логической основы. На некоторое время приходится отложить в сторону вычислительные заботы предыдущих тем (смежные и вертикальные углы) и всецело посвятить уроки искусству построения логических выводов.

Изучение нового материала всегда сопряжено с определенными проблемами, которые в данной теме многократно усиливаются, ибо механизмы, позволяющие решать задачи, принципиально меняются. Теперь репетитор по математике заставляет ученика не только подбирать действия и находить ответ, но и оформлять объяснения. Да еще какие!!! Работа, можно сказать, ювелирная. Каждое неряшливое слово, каждое лишнее слово может смутить и запутать ребенка. Однако аккуратно преподнести тему можно. Что должен сделать для ее понимания репетитор по математике? Какие методы я использую? Постараюсь ответить на эти вопросы.

Как правило, ученики не усваивают школьное объяснение. Шумная обстановка, невозможность вовремя и четко сформулировать неясность, если она возникает, приводит к тому, что всю черновую работу по внесению ясности в происходящее выполняет репетитор по математике. Как будто ученика не было в классе. Преподаватели в школе в большинстве случаев сами толком не могут подобрать нужные слова для весьма сложной и новой для школьника системы действий. Обычно пояснения к использованию признаков достаточно мутные или очень длинные и сложные. Решенные задачи ясности тоже не приносят. Доска стремительно заполняется какими-то равенствами, сокращенными фразами, обозначениями, стрелками, скобками. С непривычки разобраться в этом потоке информации крайне сложно даже сильному ученику. Какие то равенства можно использовать сразу, а какие то только после каких-то записей. Туман в голове ученика возникает мгновенно. Весь этот коктейль из чисел, букв и фраз просто сканируется в тетрадь без всякого изучения. В такие моменты ребенок часто сам выступает с инициативой поиска репетитора по математике.

В классе преподаватель математики почти не объясняет механизм работы признаков как таковых. Они просто используются в задачах с расчетом на то, что ученики со временем сами поймут смысл. Классу диктуется текст первого признака, и сразу же предлагается задачи на его применение : «отрезки AB и CD имеют общую середину. Найдите AC, если BD равно 5см.» Типовой номер, рассматривающийся в 99 случаях из 100.

План репетитора математики

1) Изучить первый признак раньше школы
Это очень важно потому, что если репетитор по математике даст урок, например, на первый признак после школьного, то вполне возможно, что в его распоряжении не останется ни одной содержательный задачи с оригинальным условием. Средств для обоснования равенства треугольников в 7 классе крайне мало. Равные углы между сторонами могут быть или равными углами по условию, или вертикальными, или равны как смежные с равными. Иных комбинаций нет. Никаких углов при основании или накрест лежащих углов. При крайне скудной дидактике репетитор по математике, ведомый школой редко усложняет себе работу.

2) Повторить определение равных треугольников
Эта работа проводится быстро и устно. Репетитор по математике напоминает, что о равенстве треугольников (по Погорелову) можно говорить в том случае, если у треугольников имеются шесть пар равных элементов. Репетитор может выписать все эти пары в тетрадь по конкретному примеру.

Далее – важно сказать, что на практике никто не проверяет все эти 6 равенств. Достаточно проверить только три из них. Какие? И вот тогда репетитор по математике вводит признак «две стороны и угол между ними». Можно обвести в выписанных равенствах те элементы, о которых идет речь.

3) доказательство признака (ов).
Я не советую репетиторам математики демонстрировать доказательства. Практика общения с учениками показывает, что а) в них тяжело разобраться б) их сразу же забывают в) на отработку доказательств и даже на их демонстрацию не хватает времени г) на усвоении практических навыков решения задач они не влияют. Если репетитором по математике ставится цель научить искусству проведения доказательств, то для этого есть куда более простые и полезные теоремы.

4) Запись в теоретическую тетрадь.
Записывается текст (формулировка признака) и рядом с ним предлагается картинка с отмеченными элементами треугольника, при которых признак можно использовать. Кроме этого нужно показать схему работы признака. Важно использовать четкую оформления и показать ее в том виде, в котором она используется при решении задач. У меня она выглядит следующим образом:

Когда репетитор по математике оформляет 1-й признак в теоретическую тетрадь таким образом, он закрепляет правило оформления решений при использовании признака. В скобках вместо слова «почему» указываются ссылки на теоремы, определения или на условие, которые служат обоснованием для соответствующих равенств.

5) Обучение культуре обозначений
Репетитору по математике обязательно нужно уделить внимание обучению равных треугольников. Выписывать буквы (вершины треугольников) нужно так, чтобы выявленные равные элементы треугольников стояли на соответствующих местах . Для этого репетитор математики может предложить отдельные задания такого рода: обозначьте правильно треугольники, изображенные на рисунке, и запишите их равенство:

Сначала репетитор по математике обсуждает саму возможность этой записи и задает ученику контрольный вопрос: «Кто гарантирует равенство треугольников?» Именно так. В этом случае с легкой руки репетитора первый признак равенства треугольников превращается в некий одушевленный персонаж – блюститель порядка или хранитель закона, который может разрешить или не разрешить ученику произвести те или иные логические действия. Перед тем как использовать равенство треугольников ученик, скорее всего, вспомнит вопрос репетитора и призадумается: есть ли гарантия этого равенства или ее нет.

После того, как придет понимание признака, нужно научить школьника правильно записывать равные треугольники в разных ситуациях. Репетитор по математике объясняет: «Вершины первого из них можно указать в любом порядке и отметить порядок их следования стрелкой. В том же порядке нужно записать вершины другого треугольника. Двигаясь по этой стрелке, мы проходим сначала сторону с «одной черточкой», затем попадает в отмеченный угол, а потом идем «по двум черточкам» к последней вершине. Вершины другого треугольника нужно записать в том же порядке: «черточка»-->«угол»--> «две черточки». Если репетитор по математике проходит с уче6ником второй признак, то лучше всего ориентироваться по углам: «дуга» --> «две дуги» --> «пустой угол» для одной записи и также «дуга» -> «две дуги» --> «пустой угол» для другой.

Такой формализм позволяет репетитору по математике научить ученика делать выводы о равенстве элементов без помощи рисунка. Если ребенок в 7 классе привыкнет к соответствию, ему будет проще в дальнейшем, например, при работе с такой темой как подобие.

Соответствие — важный элемент для правилого усвоения темы «равные треугольники». Не зря в формулировке признаков употрбляется слово соответствующие Репетитору необходимо

Техника решения и оформления задач
1. Отметить карандашом равные элементы в треугольниках и расказать репетитору как работает признак при таких условиях.
2. Записать: рассмотрим и

обозначая треугольники в соответствующем для элементов порядке.

3. Выделить три строчки для записи равных элементов. Советую репетиторам математики требовать от ученика нумеровать строки (в колонку) до их заполнения. Номера напомнят о необходимости указать и объяснить все три равенства.

4. Заполнение строк.
Все равенства должны поясняться. При заполнении каждой строки, в случае использования углов, репетитор по математике может использовать такой прием: угол первого треугольника обозначается по рисунку. После этого репетитор закрывает рисунок и просит определить парный элемент по обозначению в строке «рассмотрим...». Затем рисунок открывается и ученик проверят, тот ли угол был обозначен. Если что-то не сходится, значит допущена ошибка в обозначении треугольников. Метод приучает школьника к проверке соответствий.

5. Cделать вывод о равенстве тех треугольников, которые рассматривались (сохраняя их обозначение) и подписать номер используемого признака рядом с записью равенства.

Как репетитор по математике добивается понимания темы?

Нужно научить школьника выполнять логические переходы от одного факта к другому, выстраивая их в цепочку. Четкие и точные фразы — комментарии репетитора – важная составляющая методики объяснения. Ребенок должен понять, в каких ситуациях он имеет право использовать равенство сторон (или углов) у двух треугольников. Важно усвоить, как работать с записью еще до изучения первого признака. Репетитор по математике произносит следующее: «Все равенства используются только с чьего-либо разрешения. Первый признак разрешает использовать равенство треугольников, если мы проверим равенство трех пар элеменов. Если нам станет известно, что (это будет написано в условии или мы это докажем через признак), то имеем право пользоваться всеми шестью равенствами соответствующих сторон и углов». Фраза «имеем право» очень хорошо передает смысл происходящего и быстро запоминается. Она четкая и точная. Если имеешь право, значит делаешь правильный вывод. В процессе решения задачи, когда ребенок записал , репетитор по математике задает наводящий вопросом «что полезного мы имеем право взять из этого равенства». Как правило, дети сразу догадываются, что именно им подсказывают.

Как репетитор работает с памятью?
Дети в 7 классе часто забывают номера признаков, особенно путают первый со вторым. Как репетитору по математике помочь их запомнить? Очень просто. Номер признака совпадает с количеством участвующих в нем углов (у одного из треугольников). По двум сторонам и углу между ними — первый. По сторону и двум прилежащим углами — второй. Выбивается из общего правила только третий признак, но с ним не возникакет никакиих проблем. Три стоорны — третий.

Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, м.Строгино.