Как репетитор по математике снимает проблему понимания записей с радикалами

По всем существующим программам тема «квадратный корень» рассматривается в 8 классе и является началом изучения одного из важнейших разделов математики — квадратного трехчлена. От того насколько аккуратно репетитор по математике объяснит восьмикласснику новое и часто очень сложное для него понятие, зависит не только скорость усвоения новых видов уравнений и следующих за ними текстовых задач, но и уровень понимания геометрии, в которой к этому моменту (по учебнику Атанасяна) «запускаются» площади. Какие проблемы обычно встречает репетитор по математике в процессе работы с данной и какие решения можно найти в той или иной ситуации? Рассмотрим эти вопросы подробнее.
Стоит отметить, что в 8 классе ученик впервые сталкивается с «невидимой» математикой, которую тяжело объяснять на рисунках. Действительно, как репетитору по математике показать координатной оси число \dfrac{\sqrt{2}+3}{2} ? Если раньше в 5 – 7 классах для объяснения записи \dfrac{2}{3} достаточно было сказать ученику: «Представь себе, что единичный отрезок разделен на 3 равные части и отложено 2 таких кусочка», то с квадратными корнями так просто из положения выйти не получится. А выход искать надо, ибо главная проблема заключается в том, что ребенок не может сопоставить записи с реальными объектами. Система объяснений репетитора по математике для таких ситуаций должна, как мне кажется, основываться на практических соответствиях, а не на сложной и непонятной в 8 классе арифметике (аксиоматики) действий с действительными числами. Коротко опишу свой метод, которым часто пользуюсь.

Как репетитор по математике объясняет смысл записи \dfrac{\sqrt{2}+3}{2} ?

Сначала нужно убедить школьника в необходимости изучения корней. Это можно сделать при помощи стандартной демонстрации рисунка квадрата со стороной 1см, на диагонали которого строится новый квадрат с площадью в 2 кв.см. Некоторые репетиторы по математике ограничиваются только этим фактом и сформированным представлением ученика о методах вычисления площадей прямоугольников. В объяснениях репетитора формула S=a\cdot b используется как абсолютная и неоспоримая. Тогда получается, что длина нового квадрата должна при возведении в квадрат давать число 2. Однако, действие умножение вводилось в математике начальных классов совершенно иначе, а именно как заменитель повторений слагаемых, и связывалось с площадями только в случае натуральных значений сторон (или рациональных, как программе 6 класса). Если репетитор по математике объясняет ученику, что длина стороны выражается совершенно новым видом числа и использует для этого операцию, введенную с натуральными измерениями, то допускает некую ошибку. Конечно, она не заметна будет 99,999% школьников, но от этого репетитору не легче. Ребенок пропустит не только сам обман, но и всю логику, которую ему пытаются объяснить.

Лучше всего сказать, что новые числа (и действия с ними) были введены математиками для того, чтобы создать единые правила вычисления различных величин, одной из которых является площадь. Ох, как было бы удобно, если бы площадь всегда вычислялась одинаково (для всех размеров сторон), то есть при помощи одного и того же арифметического действия, по одним и тем же правилам и свойствам (известных для рациональных чисел). Кроме этого необходимо соответствовать зрительному представлению о величине площадей в простых ситуациях. То есть если по рисунку видно, что площадь равна 2, значит и в действии «умножение» должно получиться 2. По сути вводится совершенно новое арифметическое действие (с использованием известного знака \cdot " «), которое для рациональных чисел имеет то же самый смысл, как и «старое умножение», а для нового вида чисел отождествляется с площадью прямоугольника, имеющего указанные множителями размеры! В этом случае репетитору по математике запросто удастся объяснить законы сложения и умножения, которые распространяются в том числе и на иррациональные числа.

Можно показать работу распределительного закона умножения через свойство аддитивности площади прямоугольника. Рисунок, при помощи которого Как репетитор по математике убеждает ученика в верности свойства репетитор по математике убеждает ученика в верности свойства показан справа.

Обязательно нужно сказать, что „новые“ числа должны жить со „старыми“ по одним и тем же правилам (свойствам), так как отрезки можно последовательно откладывать на одной прямой и заново измерять. Получаются новые отрезки, соответствующие арифметическим суммам.Передача репетитором по математике смысла сложения Передача репетитором по математике смысла записи \sqrt{2}+3 легко реализуется при помощи несложных и разумных рассуждений — вопросов: «Мы водим в математику новые числа. Они будут использоваться вместе со старыми, например, для измерения отрезков. Можно ли последовательно соединить какие-нибудь два из них, например, соответствующие числам \sqrt{2} см и 3 см? Конечно. Тогда возникает проблема измерения (записи) полученного расстояния. Логично было бы назвать его суммой и использовать знакомый уже знак «+». Ровно так математики и делают. Они пишут \sqrt{2} + 3 , а в голове держат отрезок, который получается при соединении частей \sqrt{2} см и 3 см. Мы тоже будем использовать такую форму». Репетитор по математике развивает мысль дальше: "Каждый ли отрезок можно разделить пополам? Конечно. А как записать полученную длину? Оказывается, что для нее нет никакой другой записи из известных нам. Тогда договоримся использовать ту же форму с числителем и знаменателем, как и раньше». репетитор по математике проводит черту дроби Репетитор по математике проводит черту дроби между рассматриваемой суммой и число 2 и тем самым снимает проблему восприятия новых форм записи чисел. Ученик начинает понимать, что нагромождения радикалов и дробей имеют непосредственное воплощение в реальные величины и явления. Приходит осознание того,Что означает в математике дробная запись с корнями что означает в математике дробная запись с корнями и слагаемыми (любые части отрезков должны обозначаться точными символами).

Репетитор продолжает: «Для новых чисел оказываются верными те же самые свойства и правила, которыми мы используемся для рациональных чисел: правила раскрытия скобок, правила приведения дробей к общему знаменателю и т.д. Почему? Это происходит из-за сохранения переместительных, сочетательных и распределительных законов сложения и умножения». (репетитор по математике возвращается к свойству аддитивности площади — см. рисунок с прямоугольником).

О методике работы с темой «квадратные корни» можно говорить и говорить. Проблема с восприятием «синтаксиса» радикалов — лишь одна из проблем, открывающаяся перед репетитором по математике. Нужно заниматься выработкой навыков счета и преобразований, адаптацией строгих математических правил к особенностям детского восприятия и запоминания, визуальным сопровождением к объяснениям, подготовкой индивидуальных материалов многим другим. Будет время — напишу о своих правилах, наблюдениях и подходах к работе с темой.

Александр Николаевич, репетитор по математике — Москва / Строгино. .

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Евгений июля 1, 2013 в 13:44

Визуально-геометрическое восприятие (две трети яблока, сторона квадрата площади 2 и т.п.) — это хорошо. Но согласитесь, рациональное число 2/3 не было бы столь наглядно, если бы мы не могли вычислить приближенно его десятичное значение. Поэтому мне кажется необходимым учить детей (помимо прочего) вычислять квадратный корень «в столбик». Конечно, это поймут и освоят единицы, но без этого понимание сути ОПЕРАЦИИ извлечения корня не будет полным. (А для отпетых отличников репетитор по математике может еще и разложение в цепную дробь показать.)

Оставьте комментарий