Математика 5 класс. Сложные задачи на дроби. Дидактика репетитора

Предлагаю репетиторам по математике специально подготовленный комплект базовых сложных задач на дроби, рассчитанный для учащихся 5 класса. Ориентировочное время на его проработку на уроке — 60 минут. Регулярно использую данный комплект в ситуациях, когда родителям нужна олимпиадная помощь репетитора по математике (подготовка в Курчатовскую школу, в лицей «Вторая школа» и др.) Большинство задач составлены мной по мотивам известных классических номеров повышенной сложности. Комплект можно также использовать в работе с сильным учеником 4 класса, параллельно осваивающим с репетитором по математике программу учебника Петерсона.

Для подготовки к олимпиадам по математике в 5 классе. Задачи на дроби.

1) Тетя Нюра пожарила блинчики. Ира съела половину приготовленных блинчиков и еще один блинчик. Максим съел половину остатка и еще один блинчик, а Никита съел половину последнего остатка и последний блинчик. Сколько блинчиков пожарила тетя Нюра?

2) Мама испекла пирожки. Маша съела \frac{2}{3} всех испеченных пирожков и еще один. После этого Антон съел \frac{2}{3} всех оставшихся пирожков и еще один. И, наконец, Вера съела \frac{2}{3} последнего остатка и последний пирожок. Сколько пирожков испекла мама?

3) Папа пошел в магазин. На первую покупку он истратил \frac{3}{4} всех своих денег и еще одну монету. На вторую покупку он истратил \frac{3}{4} остатка и еще одну монету. На последнюю покупку он снова истратил \frac{3}{4} остатка и последнюю монету. Сколько монет было у папы?

4) Андрей прочитал книгу за 2 дня. Во второй день он прочел \frac{1}{3} того, что он прочитал в первый день. Сколько страниц он прочитал во второй день, если во всей книге 80 страниц?

5) Турист проехал намеченный путь за 2 дня. В первый день он проехал \frac{2}{5} того, что проехал во второй. Сколько километров он проехал во второй день, если весь путь составил 140км?

6) Столб врыт в землю. Часть столба, находящаяся в земле, составляет \frac{5}{12} той части, которая находится над землей. Найдите глубину, на которую врыт столб, если его длина составляет 3м40см.

7) Полина прочитала \frac{5}{7} книги, а Софья — \frac{2}{7} такой же книги. Сколько страниц в этой книге, если Полина прочла больше Софьи на 63 страницы?

8) В первый день в магазине продали \frac{2}{9} всей завезенной вишни, а во второй — \frac{4}{9} всей завезенной вишни. Сколько килограммов вишни завезли, если во второй день продали на 90 кг больше, чем в первый?

9) Имеются две одинаковые бочки с водой. Из первой вылили \frac{3}{11} бочки, а из второй — \frac{7}{11} бочки. Сколько литров воды было в каждой бочке, если из второй бочки вылили на 220литров воды больше, чем из первой.

10) Количество отсутствующих учеников в классе составляет \frac{1}{10} числа присутствующих. Когда из этого класса вышло 6 учеников, число отсутствующих составило \frac{4}{7} числа присутствующих. Сколько всего учеников в этом классе?

11) Преподаватель по математике проверял тетради с итоговой контрольной работой за 6 класс. До обеда число проверенных работ составляло \frac{1}{12} числа не проверенных. После обеда он проверил еще 4 работы, и число проверенных составило \frac{3}{10} от числа не проверенных. Сколько всего имелось работ?

12) В коробке лежат красные и белые шары. Количество красных шаров составляет \frac{5}{14} числа белых. После того как 12 белых шаров покрасили в красный цвет, количество красных составило \frac{7}{12} числа белых. Сколько шаров в коробке?

13) После того как почтальон проехал 1 км и еще половину оставшегося пути до почты, ему осталось проехать \frac{1}{4} всего пути и еще 1 км. Чему равен путь почтальона?

14) После того как черепаха проползла 10 см и еще \frac{3}{4} оставшегося пути, ей осталось проползти \frac{1}{6} всей дистанции и последние 10 см. Чему равна длина дистанции черепахи?

15) После того как туристы проехали 2 км на машине и еще \frac{5}{6} остатка всего маршрута, им осталось до конца маршрута проехать \frac{1}{7} всего пути и последние 3 км. Найдите длину туристического маршрута?

Пояснение репетитора по математике: данные задачи представляют собой полноценный комплект упражнений для одного урока с сильным учеником 4 — 5 класса по теме: «задачи на дроби». Он представлен пятью блоками полуолимпиадных номеров, рассчитанных на решение без применения уравнений. Рекомендую репетиторам по математике разбирать одну задачу самостоятельно, другую оставлять для самостоятельную работы ученика в присутствии репетитора, а еще одну задавать на дом. В каждом блоке для этого имеется соответствующее количество задач.

Колпаков А.Н Репетитор по математике в Москве. Строгино

{ 11 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Евгений 21 января, 2015 в 15:58

Здравствуйте, Александр Николаевич!

Во-первых, спасибо Вам огромное за Ваш труд, за Ваш сайт!
Выложенное Вами в открытый доступ — неоценимая помощь в достойной качественной дополнительной подготовке наших детей при постижении математики.. Пользуюсь — не нарадуюсь!
Правда, в данном наборе («Для подготовки к олимпиадам по математике в 5 классе. Задачи на дроби.») сын задал вопрос, ответ на который хочу у Вас уточнить.
В задаче №6 в каких единицах требуется найти «высоту столба»? В относительных? Т.е., пять семнадцатых?

Колпаков А.Н. 21 января, 2015 в 18:34

Да, большое спасибо за найденный пропуск. В задаче №6 известна длина целого столба — 3м 40 см. Все исправлено, решайте на здоровье!

Наташа 25 апреля, 2015 в 18:24

Ещё бы ответы для самопроверки! А так очень даже ничего, хочу сказать, что какое надо иметь терпение, чтобы проделать ТАКУЮ работу! И всё для нас!!! СПАСИБО ОГРОМНОЕ!!!

Марина 15 марта, 2016 в 19:55

Спасибо! Низкий поклон! Я сама пытаюсь сыну без репетитора помочь в математике, так как у нас в гимназии дают сложные задачи на контрольных, но в четверти только по учебнику занимаются )) сейчас хоть понимаю, чего ожидать ! Ещё раз спасибо и Дай Бог здоровья и терпения !

Екатерина 2 сентября, 2016 в 23:40

Уважаемый Александр Николаевич!
Огромная просьба по поводу задач 10-12: не знаю как объяснить такие задачи ребенку 8 лет. Сама решаю их с помощью стандартных уравнений. Но ряд алгебраических действий в ходе решения полученных уравнений не понятен детям 8-ми лет.
Пробовала, например, делить кол-во детей на 30 кусочков (задача 10), чтобы взять один кусочек за икс и составить линейное уравнение, но у нас не получилось. Если есть возможность, оставьте свои руководства к пользованию по поводу алгоритма решения указанных задач. С уважением, Екатерина.

Колпаков А.Н. 3 сентября, 2016 в 5:27

Здравствуйте, Екатерина. Забудьте про такие задачи как минимум еще на 2 года. Они явно не соответствуют возрасту Вашего ребенка. Я разбираю их только с сильными детьми 4 — 5 класса. Вообще тема «дроби» понимается многими родителями и даже некоторыми неквалифицированными репетиторами по математике как единое целое, которое нужно пройти в тот момент, когда эти дроби появляются в программе. Это абсолютно не педагогично :) Изучение дробей совершенно оправдано растянуто в программе по математике аж до 6 класса. Сначала дроби с единицей в числителе, потом произвольные дроби, затем задачи на отдельные действия с числителем и знаменателем, затем проценты, затем задачи на полные действия с дробями (с умножением на дробь и делением на дробь) и только потом уравнения с дробями и всякие хитрые методы. Вы всего лишь во втором (ну или в третьем) классе. Уровень знаний и уровень мышления второклассника никак не соответствует сюжетной сложности и информационному объему каждой представленной задачи. Забудьте.

Юлия 29 июля, 2019 в 20:50

Здравствуйте, уважаемый Александр Николаевич! Спасибо за подборку задач, сын (перешёл в 6-й класс) прорешивает летом. С прошлого года ребенок перешёл в математическую школу, во многом благодаря тому, что прошлым летом прорешал курс Петерсон за 4 кл. В течение года учиться было легче, был запас знаний, но за учебный год просел, и сейчас я не знаю какие пособия подобрать ему для дальнейшей подотовки. Пока сама ищу задания из интернета. Посоветуйте, плз, более-менее систематизированный материал на его возраст. Мы в СПб, школа идёт по собственной программе, разработанной математиками школы.

Колпаков А.Н. 28 августа, 2019 в 3:28

Здравствуйте, Юлия! Программы, разработанные математиками школы, у меня обычно вызывают гневное возмущение. Как правило, они не подкреплены никакими методическими обоснованиями и традициями. Их никто по-настоящему не проверяет и доверять им только потому, что это математическая школа — довольно опасно. Приходится править эти самоделки под нормальную последовательность изложения. Репетитор по математике и без того нагружен проблемами возраста и личных нюансов ребенка, а тут еще и школьный произвол. Очень часто я в таких программах вижу переоценку уровня ребенка в сторону завышения. В итоге задачи чрезмерно сложные, не редко вызывающие прямое отторжение от математики. Вы решали задачи по Петерсон? Хороший в целом учебник, если из него выбросить лишние разделы. Чтобы советовать Вам сейчас какой либо материал, нужно сначала выяснить что и как в этих доморощенных программах рассматривалось. Найдите толкового репетитора по математике у себя в Питере и с ним уже детально корректируйте дидактику занятий.

Ирина 8 октября, 2019 в 22:42

Я в шоке. Забрела на сайт случайно, но отлипнуть не могу. Такой широты и глубины тренера ещё поискать надо. Я всех наставников называю тренерами и отношусь соответственно — как к Сенсею. Так вот этот тренер, конечно, высший класс из многих кого я знаю. Мы многое повидали: Мехмат Мгу, и физмат школы, и курсы разные, и репетиторы, а тут такой глубокий человек с таким тщательным пониманием и работой на РЕЗУЛЬТАТ. Многие тупо сосут деньги клиента и по большому счету не проф. репетиторы — просто владеют предметом и очень нужны деньги. Тут же человек в предмете + педагогика на высоте. Браво, Маэстро!!!

Надежда 10 января, 2020 в 15:24

Здравствуйте! Как Вы посоветуете начинать решать , к примеру, 5-ую задачу и ей подобные? Логически через деление на части (5+2=7 частей всего) или введение переменной x? Буду признательна за ответ.

Колпаков А.Н. 13 января, 2020 в 7:56

Здравствуйте, Надежда! Смотря какой учебник по математике принят за основу. Пока школьная программа не добралась до пересмотра всех действий с рациональными дробями (а именно до умножения дробей) рекомендую репетитору по математике использовать для объяснений именно части, то есть долю от всего пути. К середине 6 классе, когда все положительные рациональные дроби и уравнения с ними будут рассмотрены, репетитор вправе перейти на введение переменной. В этот момент полезно показать оба решения и сравнить ответы.

Оставьте комментарий