Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора

Метод координат — весьма эффективный и универсальный способ нахождения любых углов или расстояний между стереометрическими объектами в пространстве. Если Ваш репетитор по математике имеет высокую квалификацию, то он должен это знать. В противном случае я бы советовал для «С» части сменить репетитора. Моя подготовка к ЕГЭ по математике С1-С6 обычно включает разбор основных алгоритмов и формул, описанных ниже.

Угол между прямыми а и b

Метод координат - угол между прямыми

Углом между прямыми в пространстве называется угол между любыми параллельными им пересекающимися прямыми. Этот угол равен углу между направляющими векторами данных прямых (или дополняет его до 180 град).

Какой алгоритм использует репетитор по математике для поиска угла?

1) Выбираем любые вектора \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{CD}, имеющие направления прямых а и b (параллельные им).
2) Определяем координаты векторов \overrightarrow{AB}(x_1;y_1) и \overrightarrow{CD}(x_2;y_2) по соответствующим координатам их начал и концов (от координат конца вектора нужно отнять координаты начала).
3) Подставляем найденный координаты в формулу:
Cos (\widehat{AB,CD}) =\left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}}) \right \vert =\left \vert \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \right \vert . Для нахождения самого угла, нужно найти арккосинус полученного результата.

Нормаль к плоскости

Нормалью \vec{n} к плоскости называется любой вектор, перпендикулярный к этой плоскости.
Как найти нормаль? Для поиска координат нормали достаточно узнать координаты любых трех точек M, N и K, лежащих в данной плоскости. По этим координатам находим координаты векторов \overrightarrow{MN} и \overrightarrow{MK} и требуем выполнения условий \overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{MN} и \overrightarrow{n} \perp \overrightarrow{MK}. Приравнивая скалярные произведение векторов к нулю, составляем систему уравнений с тремя переменными, из которой можно найти координаты нормали.

Замечание репетитора по математике: Совсем не обязательно решать систему полностью, ибо достаточно подобрать хотя бы одну нормаль. Для этого можно подставить вместо какой-нибудь из ее неизвестных координат любое число (например единицу) и решить систему двух уравнений с оставшимися двумя неизвестными. Если она решений не имеет, то это значит, что в семействе нормалей нет той, у которой по выбранной переменной стоит единица. Тогда подставьте единицу вместо другой переменной (другой координаты) и решите новую систему. Если опять промахнетесь, то Ваша нормаль будет иметь единицу по последней координате, а сама она окажется параллельной какой-нибудь координатной плоскости (в таком случае ее легко найти и без системы).

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостьюДопустим, что нам заданы прямая и плоскость координатами направляющего вектора \overrightarrow{AB}(x_1;y_1) и нормали \overrightarrow{n}(x_2;y_2)
Угол \psi между прямой и плоскость вычисляется по следующей формуле:
Sin \psi = \left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{n},\overrightarrow{AB}}) \right \vert = \left \vert \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \right \vert

Угол между плоскостями

Пусть \overrightarrow{n_1} (x_1;y_1) и \overrightarrow{n_1} (x_1;y_1) — две любые нормали к данным плоскостям. Угол между плоскостями Тогда косинус угла \boldsymbol{\psi} между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями:

Cos \psi = \left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}}) \right \vert =\left \vert \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \right \vert

Уравнение плоскости в пространстве

Плоскость, заданная уравнениемТочки, удовлетворяющие равенству A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D =0 образуют плоскость с нормалью \overrightarrow{n}(A;B;C). Коэффициент D отвечает за величину отклонения (параллельного сдвига) между двумя плоскостями с одной и той же заданной нормалью \overrightarrow{n}(A;B;C). Для того, чтобы написать уравнение плоскости нужно сначала найти ее нормаль (как это описано выше), а затем подставить координаты любой точки плоскости вместе с координатами найденной нормали в уравнение A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D =0 и найти коэффициент D.

Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости
Для вычисления расстояния \rho(M;\alpha) от точки M(x_0;y_0;z_0) до плоскости \alpha, заданной уравнением A \cdot x + B \cdot y + C \cdot z + D =0 можно использовать следующую формулу:

\rho(M;\alpha)=\dfrac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C \cdot z_0 + D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
В знаменателе стоит длина нормали, а числителе — значение выражения из левой части уравнения плоскости в точке M(x_0;y_o;z_0)

Комментарий репетитора по математике:

Методом координат можно находить не только углы и расстояния в пространстве, но и
1) площади многоугольников (треугольника, параллелограмма), расположенных в заданной плоскости.
2) объемы простейших многогранников (параллелепипедов и пирамид).

Для понимания таких формул нужно изучить понятия векторного и смешанного произведения векторов, а также определителя матрицы. В скором времени я сделаю для вычисления объемов соответствующую справочную страничку.

Средства аналитической геометрии репетитор по математике практически не использует в работе со средним и тем более слабым учеником. И очень жаль, что загруженность среднестатистического сильного школьника не позволяет репетитору провести более-менее серьезную работу на уровне определений из высшей математики и с соответствующей практикой решения задач. Поэтому я часто ограничиваюсь простым сообщением формул и демонстрацией одного – двух примеров их использования. В школьной программе не предусмотрено время для изучения векторных приемов вообще, однако на ЕГЭ Вы имеете право решать задачу С2 любым из известных науке способов. Отсюда мораль: учите координаты. Расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с изучением приемов аналитической геометрии даст Вам мощное и универсальное средство для решения огромного класса задач типа С2. Пользуйтесь этой страничкой на здоровье!

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва (Строгино).

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

маргарита июля 14, 2014 в 21:05

Спасибо Вам за этот материал,все наглядно и понятно.

Ghostin ноября 4, 2016 в 2:42

Спасибо вам огромное

Оставьте комментарий