Методики репетитора по математике: «трансформация» параллелограмма

Одними из самых важных и полезных для развития школьника упражнений, которые репетитор по математике приносит на урок по параллелограмму, являются задачи на трансформацию. Параллелограмм — фигура, позволяющая репетитору перестраивать себя с разных сторон и ракурсов практически произвольным образом. Причем после всех выполненных преобразований сохраняются ее прежние свойства. О чем именно идет речь?

Если Вы знакомомы с математикой хотя бы на школьном уровне, то наверняка обращали внимание на следующую особенность параллелограмма. Если с его элементами произвести какие-нибудь симметричные изменения (удлинить противоположные сторон на равные длины, одинаково обрезать или одинаково увеличить диагональ(ли), отметить середины сторон, провести биссектрисы противоположных углов до их пересечения с выделенной диагональю и т.д.), то в новом наборе точек обязательно можно будет рассмотреть еще один параллелограмм. В него как будто трансформируется исходный четырехугольник. Это обстоятельство играет репетитору по математике только на руку, открывая преподавателю широкие дидактические и методические возможности планирования урока (автономно — творческие). Удается не только количественно, но и качественно насытить занятие задачами. В каждой из них репетитор по математике создает условия для отработки правил использования свойств и признаков параллелограмма одновременно.

При анализе особенностей исходной фигуры ученик активно повторяет с репетитором по математике ее свойства, а для доказательства примеряет к ней соответствующий признак. И все это происходит на материале одного номера, одного решения. Одновременная работа с двумя важнейшими фундаментальными понятиями математики формирует у школьника представления о механизмах доказательства теорем как таковых. Он замечает разницу в работе этих признаков и свойств, а также учится выполнять с их помощью сложные для восьмиклассника логические переходы в характерных ситуациях.

Если в 7 классе репетиторы по математике главным образом обучают логике геометрии на паре треугольников, то в задачах «параллелограмм» этих пар уже может быть несколько. Неподготовленный ученик, как правило, теряется в их многообразии. Ребенок не знает, какие треугольники следует рассмотреть в начале, что именно взять из их равенства для дальнейшего, нужны ли дополнительные построения и под каким признакам параллелограмма подбираться. Этому искусству может научить репетитор по математике на хороших, насыщенных несколькими операциями упражнениях, какими, безусловно, являются задачи с трансформацией.

Перестроить параллелограмм проще простого, однако чрезмерное увлечение дополнительными построениями могут привести репетитора к резкому усложнению рисунка, что недопустимо. Я не рекомендую производить более 2 пар изменений со сторонами, углами или диагоналями. Иначе репетитор по математике рискует так засорить риунок дополнительными линиями, что сам не сможет выбраться из него.

Я очень люблю приносить на урок задачи на трансформацию и даже иногда прошу учеников составлять их. Даже если школьнику не хватает знаний или упорства для получения доказательства, результаты творческой работы, безусловно, будут способствовать позитивном настрою и интересу к следующему уроку математики с репетитором. Проверено не на одном десятке учеников. Репетитор просит придумать дома какую-нибудь задачу на те или иные изменения в параллелограмме, а на уроке, если у ученика не получилось с ней справиться, показывает доказательство. Не страшно, если оно будет добыто быстро, или, наоборот, его поиск окажется долгим, а содержание сложным.

Выбор темы самим ребенком и, как следствие, его интерес к конкретному изменению в параллелограмме – прекрасный мобилизатор внимания, позволяющий репетитору по математике спокойно работать, не опасаясь, что ученик потеряет интерес к происходящему. Дети с удовольствием включаются в необычный для себя вид деятельности и «на ура» принимают нестандартную «домашку» репетитора. Почему? Во-первых, это творческая работа. Во-вторых, она сводится к любимому занятию большинства детей — к рисованию. И, наконец, всем интересно испытать своего репетитора по математике на «прочность», поэтому ученик наверняка постарается придумать что-нибудь такое этакое. Сложное и оригинальное.

Стоит отметить, что данный подход предъявляет весьма жесткие требования к уровню самого преподавателя и потребует от репетитора таланта хорошего математика и психолога-педагога одновременно. От кого-то можно ожидать полноценного исследования рисунка, кто-то не сможет (или не захочет) его даже составить, а кто-то сплетет такую паутину из отрезков, что в ней запутается даже самый «продвинутый» профессор — математик.

Репетитор, предлагающий ученику задачи на трансформацию в чем-то напоминает фокусника, демонстрирующего зрителю чудесные превращения фигур на фантастически красивых рисунках. Вы можете изучить мою коллекцию задач. Она частично представлена в джидактическом сопровождении к этой странице.

Коллекция задач репетитора на трансформацию параллелограмма

Cамый простой вариант, доступный для понимания большинством учеников, — продление одной из диагоналей. Здесь репетитор по математике делает ставку на применение следующего признака параллелограмма: если диагонали четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Задание репетитора по математике на середины половинок диагоналей.
И здесь удобно использовать признак, связанный с диагоналями. Номер включен в соответствующий параграф учебника Атанасяна, но если нужно, репетитор по математике может его переделать. Достаточно, например, отпустить точки M и К соответственно к вершинам А и C, сохраняя равенство AM= KC. При этом полученный четырехугольник MNKP также будет параллелограммов. Доказательство аналогично случаю с серединами.

Задание репетитора на продление сторон
Здесь удобнее применить признак, которого нет в списке базовых, но который присутствует в задачах: если в параллелограмме имеется хотя бы одна пара равных и параллельных сторон, то это параллелограмм. Я всегда рассказываю его как отдельную теорему, потому что он значительно упрощает решения в сложных ситуациях. В данной задаче репетитору по математике не составит труда объяснить равенство и параллельность сторон AP и CH.

Задача с биссектрисами углов

Задание на продление сторон и диагонали

Более сложная трансформация, но не выходящая за рамки возможностей сильного или даже среднего школьника. Безусловно она заслуживает оценки «пять» в обычной школе, но для математического класса я бы предпочел более сложную конструкцию. Надо рассмотреть две пары треугольников, прикрепленных внешним образом к параллелограмму ABCD и после доказательства их попарного равенства получить в качестве следствия AB=CD и BC=AD.

Что предлагает репетитор по математике в качестве сложного задания?

В данном номере проведены сразу два изменения, да еще и с участием диагонали. В этом случае каждая из сторон MK, КN, NP и PM становится зависимым элементам сразу от двух разнотипных преобразований, что не позволяет репетитору легко и быстро объясниь их равенство и параллельность. Придется рассматривать несколько пар равных треугольников, сводя доказательство к проверке попарного равенства противоположных сторон «красного» четырехугольника.

Аналогичные задачи с трансформацией объектов можно найти в теме равнобедренный треугольник (7 класс), но их спектр более бедный как по составу задач, так и по разноообразию решений.

Репетитор по математике, Александр Николаевич. Москва. Строгино.