На каких материалах репетитор по математике строит работу с темой: углы между прямыми

Предлагаю познакомиться некоторыми авторскими дидактическими материалами в рамках темы «углы между скрещивающимися прямыми». Обычно репетитор по математике использует на своих уроках стандартные номера из учебника, в которых информация об искомых объектах предоставляется в форме длинных текстов: в прямоугольном параллелепипеде с размерами ... проведены прямые MN и KP так, что ... Если репетитор по математике работает с невнимательным учеником, который не воспринимает текстовую информацию, путается в переносе условия на рисунок, то единственным выходом может стать методика визуальных заданий. Она особенно эффективна при изучении темы «углы между прямыми и плоскостями» в пространстве (стереометрия).

Уже несколько лет я работаю с собственными методическими разработками, и не обращаюсь за помощью ни к каким задачникам и пособиям. Некоторые задания из своей базы я предлагаю для ознакомления.

Как репетитор по математике подает задания ученику?

Все визуальные номера снабжены минимальной текстовой информацией и сопровождаются обязательными рисунками. Все данные условий находятся на этих рисунках. Для того, чтобы собрать внимание ученика на отработке определенного навыка (например, на поиске углов между различными прямыми в кубе) задачи разбиты на блоки:
1) поиск углов в кубе
2) поиск углов в правильных пирамидах: а) в треугольных б) четырехугольных в) шестиугольных.

Решаются они также блоками. Одна часть разбирается с репетитором непосредственно на занятии, а вторая часть задается дом. Я не стал оформлять страничку с разделением номеров для совместной и домашней работы, ибо это разделение, как и точный подбор задач, всецело зависит от конкретного ученика и от конктерной ситуации в которой находится репетитор (временной, учебной, методической, психологической...)

Как репетитор по математике выделяет прямые для поиска угла?

Линии во всех номерах, между которыми надо найти угол выделяются красным цветом. В таком случае у репетитора по математике отпадает необходимость формулировать вопрос к каждой задаче. Перед его учеником стоит одна и так же цель при разных геометрических расположениях прямых линий. Так проще концентрироваться на поиске самого алгоритма. Согласитесь, что это удобно. И не только для ученика.

Расположение точек, через которые проведены прямые, репетитор по математике выбирает самым простейшим образом. Обычно это или вершины многогранника, рили середины его ребер. В последнем случае репетитору достаточно показать черточками равные половинки этих ребер.

Задачи на нахождение углов между скрещивающимися прямыми

На этой страничке представлены образцы задач только с использованием куба и его элементов. Аналогичные материалы имеются в моей базе задач и на пирамиды.

Найдите углы между красными прямыми:
Материалы репетитора по математике - углы между прямыми. Задача 1

Материалы репетитора по математике - углы в кубе. Задача 2
Материалы репетитора по математике - нахождение углов. Задача 3

Материалы репетитора по математике для урока на углы.Задача 4

Материалы репетитора по математике. Задача 5 на поиск углов

Материалы репетитора по математике. Нахождение углов. Задача 6


















































Все номера решаются по одной и той же системе. Напомню, что угом между скрещивающимися прямыми называется острый угол между любыми прямыми, которые или совпадают с имеющимися или параллельны им. Поэтому требуется параллельно сдвинуть одну из прямых (или обе) так, чтобы получить из них треугольник с удобными сторонами. Далее ребро куба обозначается какой-нибудь буквой и через нее выражаются стороны этого треугольника. Если репетитор по математике объяснит уче6нику, что величины углов не зависят от того, в чем измеряются длины отрезков (ребер), то он будет вправе вводить для каждой задачи свою мерку (единицу), удобную для решения. Для задач с серединами в качестве такой мерки лучше взять половину ребра куба.

Эти материалы подойдут для того случая, если репетитором проводится целенаправленная комплексная подготовка к ЕГЭ по математике на базе задачи С2. Возможны более сложные сочетания линий. Тогда на помощь репетитору приходит метод координат. Один из моих учеников наловчился пристраивать к кубу точно такой же куб и сдвигать прямые, размещая их внутри этого вспомогательного куба. Я не советую заниматься подобным творчеством, ибо рисунок сильно усложняется. Всегда можно как-то устроить перемещения внутри исходного куба. Или, в крайнем случае, воспользоваться методом координат:
Cos (\widehat{AB,CD}) = |Cos (\widehat{ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}})|= \left | \dfrac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{CD}|} \right |

Вводится система координат (в кубе это сделать проще всего), выбирается единица измерения, о которой я уже сказал выше, и векторы, имеющие направления данных прямых. Находим модуль их скалярного произведения и делим его на произведение длин векторов. Если в ответ нужно записать сам угол, то он будет равен арккосинусу того, что получилось.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — автор заданий. Москва.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий