О преимуществах урока с репетитором по математике (решаем школьное ДЗ)

Обычно к репетитору по математике обращаются в двух случаях: либо требуется получить максимальный балл на ЕГЭ для поступления в сильный ВУЗ, либо выясняется, что ученик безнадёжно отстал и надо хоть как-то выправить ситуацию. Если репетитор хороший, ученик прилагает усилия и времени достаточно, результат может быть впечатляющим. При этом многие родители даже не рассматривают вариант найма репетитора в случае, когда успехов нет, но и «жареным ещё не запахло». К сожалению, массовое школьное образование имеет специфические ограничения, которые со временем и приводят многих учеников к плачевным результатам. Поэтому если у вас нет возможности лично контролировать успеваемость ребёнка, стоит обратиться за помощью к профессиональному репетитору.

Опишу недавний случай, который поможет понять смысл занятий с репетитором, даже если до экзаменов далеко и кажется, что ученик сам справляется с учёбой. Разберём на конкретных примерах, какие преимущества можно получить в сравнении с обучением без посторонней помощи.

Как репетитор по математике помогает извлечь максимум из школьного Д/З ?

В тот раз я помогал сыну знакомых разобраться со школьным Д/З по комбинаторике, без предварительной подготовки с моей стороны.Первым делом проверяем: знает ли ученик, что такое факториал? Приходилось ли «справляться» с ним в выражениях и как это делается? Помнит ли основные формулы по перестановкам, размещениям и сочетаниям? Простое правило: надо «освежать» ключевые моменты теории прежде, чем браться за задачи. Однако мало у кого хватает дисциплины уделить этому хоть пару минут. А большинство учащихся вообще не в курсе, что так надо делать всегда.
Выяснилось, что с темой он как будто знаком. Попробуем одолеть задание, подобранное школьным учителем. И по возможности «улучшим» упражнения там, где возможно.

Сначала предлагается решить задачу «на перестановки»:

Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами а) две б) три в) четыре различные путевки в санаторий?

Ученик успешно выбирает нужную формулу A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}, подставляет числа 6 и 2 вместо n и k, получает ответ 30. Дальше он сделает то же самое для чисел 3 и 4 и с чистой совестью перейдёт к следующему заданию. Что сказать? Типичное выполнение Д/З — взял формулу, как-нибудь вставил данные из условия, получил ответ, и до свидания. В принципе, даже от такого «занятия» есть польза. Голова, конечно, задействована минимально, но всё-таки: смог не запутаться в условии, поупражнялся с формулой, оформил решение в тетради, если сделал аккуратно — двойной плюс. Это ведь лучше, чем бездумно списать решение с сайта «готовых домашних заданий». А кто-то вообще ничего не делает, решив что «я и так всё понял» или «на фига мне это нужно?». Но нам нужен максимум отдачи, поэтому я останавливаю ученика после прочтения пункта б) и спрашиваю: «Как ты думаешь, сейчас получится больше вариантов распределения или меньше?» Отвечает, что больше. Проверяем — так и есть, 120.

Переходим к пункту в), тот же вопрос — и действительно, комбинаций стало очень много. Учебник не предполагает дальнейших действий, но я обращаю внимание, что если билет только один, то комбинаций совсем мало — всего-то 6. А затем мы «на пальцах» прикидываем, так ли происходит в жизни, и полученные цифры становятся «осязаемыми». Обращаю внимание, почему составители учебника предложили рассмотреть несколько случаев для одной задачи: сравнение результатов позволяет увидеть закономерности, что облегчает усвоение темы.

Далее идёт задача «на сочетания»:

Сколькими способами можно присудить шести лицам 3 одинаковые премии?

Ученик выбирает формулу для «сочетаний», подставляет числа 6 и 3, получает ответ 20. И снова вроде всё хорошо: ответ же правильный? Действительно, ученику без репетитора остаётся лишь перейти к следующей задаче. Но я предлагаю то, что забыли сделать авторы учебника. Говорю: «Как ты думаешь, что получится, если премий будет 2?». Вспоминая предыдущую задачу, он быстро говорит: станет меньше вариантов. Проверяем — так и есть, ответ 15. Хорошо, а если 4 премии? Он как будто начинает скучать — ведь «уже ясно», что будет больше, чем для трёх. И даже говорит ответ заранее — наверное, получится 25. Затем проверяет по формуле и удивлённо округляет глаза: ответ снова 15, что за ерунда?

Давай, говорю, сравним получившиеся выражения для двойки и четвёрки. Только теперь он начинает видеть, из каких частей составлена формула C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}. Потихоньку учится «ориентироваться» в этом нагромождении символов, а не просто подставлять числа. Снова пытаемся «на пальцах» убедиться, что это правильный результат. В самом деле, для четырёх премий мы как бы пытаемся узнать, сколько способов выбрать двоих не премированных человек. Очевидно, что вариантов столько же, сколько возможностей выбрать двоих премированных. И если сравнить полученные по формуле выражения для этих случаев, тоже понятно, почему результаты совпадают. Тут я обращаю внимание, что эта «странность» — известный факт, для которого есть специальное соотношение:

C_n^k=C_n^{n-k}

Разумеется, для полного счастья прошу разобрать случаи одной и пяти премий. Ученик уже догадался, что примерно получится, и быстро убеждается в своей правоте.
Теперь он действительно знаком с формулами размещений и сочетаний. Глаза привыкают из всей комбинации символов выделять «смысловые» группы. Как следствие, использовать эти формулы будет значительно легче, и проще заметить, если допустил ошибку.

Движемся дальше:

В классе 30 учеников. Сколькими способами учитель может назначить а) трех дежурных? б) выбрать 28 человек для участия в весеннем кроссе?

Мигом делаем пункт про дежурных, но от машинального решения пункта б) останавливаю: нельзя ли угадать ответ? Может, числа 2 и 28 даны неспроста? Ситуации вроде бы разные, и это мешает самостоятельно заметить их связь. Напоминаю про только что рассмотренную формулу C_n^k=C_n^{n-k}. Оказывается, и здесь её можно использовать, чтобы не делать повторных вычислений: ведь выбрать двоих из 30 — то же самое, что выбрать остальных 28 из тех же 30.
Далее решаем ещё несколько задач посложнее. Не буду описывать подробности, принцип тот же.

Подведём итоги. Даже на примере простых задач можно заметить, что без посторонней помощи типичный школьник занимается очень поверхностно. Какое-то время учёба вроде бы идёт нормально. Но знания зыбкие, неглубокие, потихоньку накапливается недопонимание. И в один прекрасный момент родители задаются стандартным вопросом: как же так получилось, раньше ведь не было проблем? Конечно же, проблемы были, просто их трудно заметить, пока ситуация не вышла из-под контроля.

Чем может помочь репетитор по математике даже при выполнении обычного школьного Д/З

    Выделяются сразу несколько очевидных пунктов:

  • репетитор дисциплинирует ученика, не даёт работать «спустя рукава
  • восполняет недоработки составителей учебников (обращая внимание на скрытый смысл заданий и усовершенствуя их)
  • побуждает задуматься там, где ученик проскакивает «на автопилоте
  • делает занятие более осмысленным, связанным с реальным миром
  • по ситуации даёт дополнительные задания

Список неполный, можно добавить общение с опытным взрослым человеком, от которого немедленно получишь оценку своим трудам.

Что дают регулярные уроки с репетитором?

Если регулярно заниматься, то получаем, как минимум, следующее:

  • исправление ошибок до того, как они закрепятся в виде навыков
  • привычка учиться с большей отдачей
  • уверенность в своих силах, оптимистичный настрой
  • своевременный и точный контроль уровня знаний

Не откладывайте поиск репетитора по математике до последнего момента. Обращайтесь заранее, пока недоработки не переросли в труднопреодолимые проблемы. Лучше заниматься реже, но начать раньше, чем в авральном режиме навёрстывать упущенное.

Петровский Александр, репетитор по математике.