Олимпиадные задачи по математике 5 — 6 класс

В последнее время увеличился поток писем от посетителей сайта с просьбами о помощи в решении олимпиадных задач для самых маленьких (5 — 6 класс). Это приятно, ибо работать с талантливыми и целеустремленными детьми одно удовольствие. Кто обычно пишет репетитору по математике? Как правило, это родители учеников, решающих сложные задачи для собственного удовлетворения и развития. Чуть меньше писем от самих участников математических олимпиад и конкурсов «Кенгуру». Последние присылают задачи, оказавшиеся им не по зубам на школьном или на районном туре. Репетитор по математике он-лайн в таких случаях является хорошим источником проверки правильности решения, а иногда и единственной надеждой узнать его вообще. Не каждому родителю удается справиться с олимпиадной задачей (и тем более объяснить ее в 5 классе),  а возможности придти после олимпиады домой и посмотреть решение задачи в учебнике нет. Именно для таких посетителей я решил открыть новую узкоспециализированную страницу: олимпиадные задачи по математике для 5 — 6 класса.

К сожалению, не всегда удается найти время на полное оформление задач в том объеме, в котором ни приходят ко мне по e-mail. Не забывайте, что я реальный репетитор по математике, а не виртуальный. Поэтому заранее прошу прощения, если в силу своей занятости не смогу ответить Вам оперативно. Оформление каждого решения (особенно если нужны рисунки и схемы) отнимает много времени и отвлекает репетитора от самого главного — от реальных занятий.  Но мне интересно развитие сайта, интересно расширение базы занимательных задач (дефицит которых испытывает каждый репетитор по математике), поэтому в свободное время с удовольствием работаю с Вашими письмами. Пишите, присылайте интересные и сложные задачки (для 5 класса, для 6 класса !!!), присылайте все что Вам показалось занимательным и необычным, сложным, тонким или противоречивым.

Олимпиадные задачи для 5 — 6 класса. Ответы на Ваши вопросы.

Вопрос репетитору по математике от Валентины
Часы Юры отстают на 8 минут, но он считает, что часы спешат на 2 минуты. Часы Коли спешат на 2 минуты, однако он думает, что они отстают на 8 минут. Друзья договорились, что встретиться в 5 часов вечера. Кто раньше окажется у места встречи и на сколько минут?

Решение репетитора (Колпаков А.Н.)
Отметим, что мальчики приходят в точку встречи по своему «внутреннему» таймеру (который рассчитывают), а не по реальному. Поэтому надо узнать, каково реальное время в момент прихода каждого. Найдем разницу между реальным временем и тем временем, которое представляет себе Юра. Пусть точное время x минут, тогда на часах Юры x-8 минут. Так как он думает, что они спешат, значит считает, что сейчас x-8-2 минут. Поэтому значение реального времени больше того, которое представляет себе Юра на 10 минут. Это означает, что к моменту прихода Юры в точку встречи реальное время составит 17 ч 10 мин.

Аналогично рассуждая можно получить расклад по Коле. Пусть y (мин) — реальное время. Тогда часы Коли в этот момент показывают y+2 (мин). Так как он думает, что часы отстают на 8 минут, значит считает, что в этот момент y+2+8 минут.

Поэтому значение реального времени меньше представляемого Колей на 10 минут. Это значит, что к моменту прихода Коли реально 16 ч 50 мин. Поэтому Коля пришел раньше Юры на 20 минут.

Задача репетитору по математике от Катерины.
Доброе утро, ребёнку в школе задали решить задачу с олимпиады, ну ни как не получается! Задача: Петя в трамвае заметил Васю, который поравнялся с трамваем следуя вдоль трамвайных путей в противоположном направлении. Через минуту Петя вышел и побежал вдогонку за Васей вдвое быстрее его, но в 4 раза медленнее трамвая. Через какое время Петя догонит Васю? Помогите.

Решение (А.Н.Колпаков) Прежде всего, нужно понять, что означает «в два раза быстрее». Это значит, что скорость больше в два раза. А поэтому в два раза больше будет пройденное расстояние (не важно, за какое время). Тогда, если Петя идет в два раза быстрее Васи и в 4 раза медленнее трамвая, то Вася проходит за минуту в раз меньшее расстояние, чем трамвай.

Поэтому если за одну минуту Вася проходит какой-то отрезок пути, то трамвай проезжает 8 таких отрезков. Поэтому расстояние между мальчиками в момент выхода Пети составляет 9 отрезков. За ту же минуту Петя проходит 2 отрезка (раз его скорость в 2 раза больше). Введем единицу измерения длины, равную этому же отрезку. Тогда мы имеем стандартные начальные данные для самой обычной задачи на скорость сближения. Скорости мальчиков известны – это 1 (отрезок/мин) и 2 (отрезка/мин), а расстояние для сближения составляет 9 отрезков.

За каждую минуту оно сокращается на 2-1=1 отрезок (это и есть скорость сближения). А нам надо узнать, за какое время расстояние в 9 отрезков сократится до нуля, то есть надо узнать время сближения. Его можно найти, разделив путь сближения на скорость сближения. Поэтому 9 делим на 1 и получаем 9 минут. Ответ: 9 мин.

Вопрос репетитору по математике от Ибрагилава.
Как решить задачу? Свете втрое больше лет, чем было Максиму тогда, когда она была в его нынешнем возрасте. Когда Максим будет в возрасте Светы, то им вместе будет 28 лет. Сколько сейчас лет Максиму и сколько сейчас лет Свете?

Решение  (Колпаков А.Н.)
Запутанные (олимпиадные) задачи на возраст удобно показывать на временной оси, на которой возраста представляются точками. Если у нас 2 человека и их возраста меняются, то изображающие их точки будут просто двигаться по оси. При этом расстояние между ними (разница в возрасте) будет сохраняться. Покажем нынешний возраст Светы и Максима точками С и М (верхний ряд букв на рисунке). В нижнем ряду поставим буквы С и М для того момента, когда «Света была в нынешнем возрасте Максима». Получим равные отрезки, концы которых (нижняя М и верхняя С) согласно условию «в 3 раза» можно обозначить как х и 3х. Тогда нынешний возраст Максима (середина отрезка) будет иметь координату 2х, а значит разница в возрасте составит ровно х (лет). Теперь покажем, какими будут координаты возрастов в тот момент, когда Максим окажется в возрасте Светы. Эти буквы стоят в ряду «будущее». Длина их отрезка тоже равна х (лет) и поэтому возраст Светы в этот момент окажется равным 4х (лет). Так как в будущем им вместе будет 28 лет, то 3х+4х=28, откуда получаем, что х=4. Поэтому Максиму сейчас лет, а Свете сейчас лет.

Вопрос репетитору по математике от Миши
Здравствуйте! Помогите решить олимпиадную задачку за 5 — 6 класс. Вася написал в тетради 4 числа. Сложил их по два всеми возможными способами получил шесть таких сумм: 2, 4, 9, 9, 14, 16. Какие числа записал Вася?

Решение (Колпаков А.Н.)
Пусть a, b, с, d – искомые числа, расположенные в порядке возрастания. Составим последовательность их суммы также в порядке возрастания используя неравенство a < b < c < d. Получим такой ряд:
1) a+b=2
2) a+c=4
3,4) b+c и a+d
5) b+d=14
6) c+d=16
Первые две суммы явно наименьшие и поэтому равны 2 и 4. Две последние явно наибольшие и равны соответственно 14 и 16. Осталось выяснить судьбу двух оставшихся: b+с и a+d. Но так на них приходятся две девятки, то каждая из них равна 9. По первым двум суммам делаем вывод, что с на 2 больше чем b. Поэтому c=b+2. Подставляя выражение для числа с в равенство b+c=9 получим, что b+b+2=9. Поэтому b=3,5 и значит c=3,5+2=5,5. Из первого равенства вытекает, что a=2-3,5=-1,5, а из последнего, что d=16-5,5=10,5
В итоге ответ оказывается таким: -1,5; 3,5; 5,5 и 10,5

Задача репетитору от Эльдара. Помогите решить: Всего 5555 человек, на 10 солдат приходится 1 капрал, на 5 капралов 1 офицер, на 9 офицеров 1 генерал. Решение: сколько всего было солдат?

Репетитор по математике Ермакова Диана
Для начала определим, сколько человек в одном таком «наборе», состоящем из генерала, капралов, офицеров и солдат.
Один генерал и девять офицеров у нас уже есть. Так как на каждого офицера приходится 5 капралов, то на 9 офицеров приходится капралов.
Так как на каждого капрала приходится 10 солдат, то на 45 капралов приходится солдат.
Всего человек в «наборе»
Так как всего в армии 5555 человек, то количество «наборов» равно
. В одном «наборе» солдат, поэтому в 11 «наборах» будет солдат.
Ответ: солдат.

Иногда мне помогают оформлять решения другие репетиторы по математике. Я рассылаю условия тем, кто дал свое согласие на участие в виртуальной работе. Для репетитора по математике такая активность — хороший шанс обратить на себя внимание будущих учеников. Поэтому, если Вы регистрируетесь у меня на сайте как репетитор по математике — укажите при заполнении анкеты (в поле дополнительной информации) готовы ли Вы к такому сотрудничеству. Тот репетитор по математике, кто будет присылать решения для публикации регулярно, скорее всего, может рассчитывать на размещение еще и в рекомендованном списке репетиторов.

Страницы: 1 2 Далее