Олимпиадные задачи по математике 5 — 6 класс

Вопрос  от Анастасии
Здравствуйте! Я не понимаю как решить такую задачу (объясните пожалуйста): поезд, идущий со скорость 50/км в час везет пассажира. Это пассажир заметил, что встречный поезд мимо него прошёл в течение 10 секунд. Определите длину встречного поезда если его скорость 58 км/ч.

Решение репетитора (Колпаков А.Н.)
Представим себе схему движение поездов:
Схема репетитора по математике к задаче про поезда
Красная точка на схеме — пассажир поезда А, синяя точка — конец поезда B. Длина поезда B — это расстояние между точками в тот момент, когда красная точка встречается с первым вагоном поезда В (это расстояние легко увидеть на верхнем рисунке). Поскольку точки движутся навстречу друг другу (сближаются), то искомая длина поезда В — не что иное, как путь сближения точек. Для того, чтобы его найти, нужно скорость сближения умножить на время сближения (t=10 секунд). Найдем скорость сближения: V=50+58=108 (км/чаc)=108000 (м/час)=108000:3600=30 (м/сек). Тогда путь сближения S=30 \cdot 10=300 метров. Это и есть длина поезда.

Вопрос  от Наташи. Допустим, я взял у друга 100 руб, пошёл с ними в магазин и их потерял, затем встретил подругу и взял у неё еще 50 руб, купил ровно 2 шоколадки по 10 руб и осталось 30 руб. Я отдал их другу и остался ему должен 70, подруге 50. В итоге получается 120 руб + 2 шоколадки = 140 рублей. Но 150-140=10. Где недостающие 10 руб (150-140=10)? Пожалуйста, помогите решить мне эту задачу! Заранее огромное спасибо.

Разъяснения репетитора (Колпаков А.Н). Знакомая ситуация. Задача из серии «про инвалидов и перчатки». Она опубликована у меня на сайте. По существу вопросу могу сказать, что решать тут особенно то и нечего. Надо просто указать на две грубейшие ошибки, допущенные при пересчете общей суммы долга. Если мы сравниваем ее со 150 рублями, то первой ошибкой будет то, что в сумме 70+50 не учитываются уже возращенные 30 рублей и поэтому сравнивать нужно с тем, что остается вернуть, то есть с остатком в 150-30=120 рублей. Если все же сравнивать с 150 рублями, то эти 30 рублей нужно вернуть обратно. Но вместо того, чтобы это сделать добавляется 20 шоколадных рублей, которые уже учтены в сумме 70+50. Поэтому 20 рублей считаем дважды, то есть вместо 30 возвращенных рублей добавляем 20 лишних. Вот Вам и разница в 10 рублей по сравнению с эталонной суммой. Усвоили?

Такое впечатление, что автор этих задач — один и тот же человек. Для того чтобы запутать логику решения и таким образом замаскировать ошибку, производятся максимально возможные перемещения одних и тех же числах внутри одной и той же суммы. И вместо того, чтобы в определенный момент выполнить сложение, меняют его на вычитание (или наоборот) и загоняют решающего в весьма трудное положение, ибо логика подбора действия на первый взгляд кажется безупречной.

Вопрос от Юлии. В заповеднике всего 24 верблюда, причем часть из них имеют 1 горб, а другая часть 2 горба. Сколько верблюдов каждого вида в заповеднике, если всего они имеют 41 горб.

Репетитор по математике о верблюдах в заповеднике
Классика олимпиадного жанра для начальной школы. Никаких уравнений и переменных. Допустим, что все наши верблюды одногорбые. Тогда у них будет 24 горба. Чтобы получить наш вариант с 41 горбом необходимо менять одногорбых верблюдов на двугорбые. Каждая замена добавит нам 1 лишний горб, а всего потребуется добавить 41-24=17 горбов. Это означает, что нужно произвести 17 замен. Следовательно к нам придут 17 двугорбых и останется 24-17=7 не тронутых одногорбых верблюдов. Ответ 17 и 7

Вопрос от Ирины
Здравствуйте. Задача для шестого класса. Учебник математики издательство «Атамура», 2006 год. Авторы Т.А. Алдамуратова, Т.С. Байшоланов. Задача №142.
Условие: Шолпан, Дина и Жанат собрали 177 яблок. Когда Шолпан разложила свои яблоки в кучки по 3 яблока в каждой, а Дина- по 4 яблока в каждой, то кучек получилось поровну. Когда Дина разложила по 5 яблок, а Жанат- по 6 яблок, то кучек получилось тоже поровну. Сколько яблок собрала каждая девочка?
Ответ: 45, 60,72.
Задачу я решила, но только применяя способ решения уравнения с тремя неизвестными. Этого, в первой четверти, шестиклассник делать еще не умеет. Должен быть способ решения проще и доступнее. Подскажите , пожалуйста.
С уважением, Ирина.

Репетитор по математике Грылин Эльдар
Задача очень интересная и хитрая. Основана на свойствах делимости, которые в 6 классе как раз и проходят. Решение такое: очевидно, что количество яблок у Дины делится на 4 и на 5. Покажем, что оно же делится и на 3. Почему? Число 177 тоже кратно трем и количество яблок у Шолпан делится на 3, у Жанат на 6 и поэтому тоже на 3. Тогда и разность 177 — Шолпан — Жанат тоже будет делится на 3. Поэтому Яблоки Дины делятся сразу на три числа: на 3, на 4 и на 5. Чисел, обладающих таким свойством и не превышающих 177 всего лишь две штуки: это 60 и 120 (число 60=НОК(3;4;5) — наименьшее общее кратное). Очевидно, что вариант 120 не подходит, так как получится 24 кучки по 5 яблок и у Жанат было бы 24 \cdot 6=144 яблока. Остается только 60 \implies кучек по 5 яблок будет 12 штук \implies 12 \cdot 6 =72 яблок у Жанат и 177-60-72=45 яблок у Шолпан.

Вопрос от Эллы
Уважаемый Александр Николаевич! Подскажите пожалуйста алгоритм решения задачи на дроби из Вашего сборника «математика 5 класс»: "Тетя Нюра пожарила блинчики. Ира съела половину приготовленных блинчиков и еще один блинчик. Максим съел половину остатка и еще один блинчик, а Никита съел половину последнего остатка и последний блинчик. Сколько блинчиков пожарили? Задачу решили по действиям и не знаем правильно или нет (ответ 14 блинчиков), потому что если решать через уравнение, то получается другой ответ (24 блинчика). Как решать через дроби ребенку объяснить не могу, потому что сама не поняла, репетитора по математике некогда нанимать, потому что задачу уже задали, ну и хотелось бы прорешать самим остальные задачи из этого цикла. С уважением мама ученика 6 класса.

Репетитор по математике о задаче про блинчики
Классическое олимпиадная головоломка для 5 класса среднего уровня сложности. Решаются такие задачи всегда «от конца к началу». В ответе действительно 14. Так как после поедания Никитой половины блинов остался последний блинчик, значит до этого на тарелке было 2 блина (которые оставил после себя Максим). Добавим его единичку к двум блинам и получим 3 — половину от того, что осталось после Иры. Тогда до нее на тарелке лежало 6 блинов. Снова прибавим единицу, съеденную Ирой, и получим 7 — половину того, что осталось после Иры. Итого 7 \cdot 2 =14 (блинов) — было изначально. Уравнением, если оно правильно составлено и правильно решено, не может получиться другой ответ.

Вопрос от Эвилины.
В королевстве построен 1001 город, Король приказывает проложить между этими городами дороги так, чтобы из каждого города выводилось ровно по 7 дорог. Смогут ли его подданные справиться этим приказом короля? Подскажите способ решения.

Репетитор по математике о городах и дорогах.
Очень распространенный олимпиадных тип задач для 4 — 6 класса. Решается просто. Предположим, что приказ возможно выполнить. Тогда от каждого города выйдет по 7 дорог. Следовательно в королевстве окажется 1001 \cdot 7 = 7007 концов дорог. Каждые два конца соответствуют одной дороге. Поэтому дорог будет в 2 раза меньше, чем концов. Но число 7007 — нечетное и не делится на два. Получили противоречие с предположением и следовательно приказ выполнить невозможно.

Просьба от репетитора:
Уважаемые посетители сайта! Присылайте, пожалуйста, информацию об источниках задач и о том, в каком классе Вы учитесь, или учится Ваш ребенок. Иначе мне и моим репетиторам будет сложно сориентироваться в подборе методик объяснений задач. Они должны соответствовать пройденному программному материалу.

Александр Николаевич. Репетитор по математике — Москва. Подготовка к Олимпиадам.

Страницы: Назад 1 2

{ 4 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Ибрагилав 15 ноября, 2011 в 15:46

Спасибо за то, что помогаете решать такие задачи

юлия 21 октября, 2016 в 17:27

Спасибо за помощь в решении задач подобного уровня. С огромной благодарностью к вам.

Евгений 20 июня, 2021 в 20:36

Мне интересно решать головоломки. Готов участвовать .

Евгений 22 июня, 2021 в 11:13

Задача про Свету и Максима, который младше Светы, меня ввела в транс и я её сам не решил. Более того, очень долго читал Ваше решение, не помнимая, почему середина отрезка «расстояния» между Светиным нынешним возрастом и Максимом «тогдашним», когда ей было столько, сколько ему сейчас, находится ровно посередине. Наконец, до меня дошло. Хочу поделиться соображением.
Когда Света была в том возрасте, в котором Максим сейчас, то ей было меньше лет ровно на разницу в их возрасте, которая не меняется (х). Но в тот момент Максиму было опять же настолько же лет меньше, чем ей, то есть на 2х.
Может быть, всем, кроме меня это очевидно, но я промучился над этим всю ночь.
Всё остальное уже просто.

Оставьте комментарий