Пирамида и ее элементы

Здесь собраны основные сведения о пирамидах и связанных с ней формулах и понятиях. Все они изучаются с репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ.

Рассмотрим плоскость \alpha , многоугольник A_1A_2...A_n, лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки SA_1,SA_2,...,SA_n называются боковыми ребрами.Пирамида Многоугольник называется основанием, а точка S — вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), птяиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды – тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.
Виды пирамид

Пирамида называется правильной, если A_1A_2...A_n правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Комментарий репетитора:
Не путайте понятие «правильная пирамида» и «правильный тетраэдр». У правильной пирамиды боковые ребра совсем не обязательно равны ребрам основания, а в правильном тетраэдре все 6 ребер ребра равные. Это его определение. Легко доказать, что из равенства SA_1=SA_2=...=SA_n следует совпадение центра P многоугольникаA_1A_2...A_n с основанием высоты, поэтому правильный тетраэдр является правильной пирамидой.

Что такое апофема?
Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.
апофемы
Репетитор по математике о своей терминологии: работа с пирамидами на 80% строится через два вида треугольников:
1) Содержащий апофему SK и высоту SP
2) Содержащий боковое ребро SA и его проекцию PA
Реберный и апофемный треугольники
Чтобы упростить ссылки на эти треугольники репетитору по математике удобнее называть первый из них апофемным, а второй реберным. К сожалению, этой терминологии вы не встретите ни в одном из учебников, и преподавателю приходится вводить ее в одностороннем порядке.

Формула объема пирамиды:
1) V=\frac{1}{3} \cdot S_{OCH} \cdot h, где S_{OCH} – площадь основания пирамиды, а h-высота пирамиды
2) V=\frac{1}{3} \cdot r \cdot S_{0}, где r – радиус вписанного шара, а S_0 – площадь полной поверхности пирамиды.
3) V= \frac{2}{3} \cdot MN \cdot S_0, где MN – расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а S_0 – площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Свойство основания высотыТочка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Комментарий репетитора по математике: обратите внимание, что все пункты объединяет одно общее свойство: так или иначе везде участвуют боковые грани (апофемы — это их элементы). Поэтому репетитор может предложить менее точную, но более удобную для заучивания формулировку: точка P совпадает с центром вписанной окружности основание пирамиды, если имеется любая равная информация о ее боковых гранях. Для доказательства достаточно показать, что все апофемные треугольники равны.

Свойство основания высоты 2Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Комментарий репетитора. Аналогично предыдущему пункту текст можно упростить и вместо этих условий произнести : «если имеется любая равная информация о боковых ребрах». При этом все апофемные треугольники будут равны \implies все проекции боковых ребер будет равны \implies P будет равноудалена от всех вершин основания и поэтому окажется центром описанной окружности.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней S=S_{OCH}+S_1+S_2+...+S_n.
Площадь боковой поверхностии — сумма площадей всех боковых граней S=S_1+S_2+...+S_n.
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле S_b=p \cdot SK , где p — полупериметр основания, а SK-апофема.

Правильная треугольная пирамида однозначно определяется двумя параметрами: один плоский, а другой пространственный: к плоскому я отношу любой элемент правильного треугольника (кроме угла), а к пространственному любой связующий параметр между основанием и точкой S: апофема, высота, углы наклона ребер, граней, объем, площадь поверхности и др. При наличие в условии задачи этих двух начальных данных репетитор с учеником может найти у такой пирамиды все что угодно.

Пирамида — обязательный пункт подготовки к ЕГЭ по математике. Програмный минимум по стереометрии включает в себя все вышеуказанные сведения, кроме третьей формулы вычисления объема пирамиды.

Колпаков Александр,
репетитор по математике в Москве. Строгино

{ 8 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Радик января 17, 2012 в 19:07

Класc! Все ясно и лаконично. Полный респект!

Ваня Колдобин июня 7, 2014 в 19:19

Весьма полезная статья. Чего только стоят красочные и весьма
наглядные рисунки. Автору — низкий поклон.

Колпаков А.Н. июня 7, 2014 в 21:53

Спасибо, Ваня, за добрый слова. Русунки действительно доставляют массу хлопот, особенно когда их появление в тексте не хаотичное, а последовательное. Верстка такой страницы вместе с написанием статьи занимает от 4-6 и до 16-20 часов (в зависимости от содержания статьи).

Илья ноября 11, 2015 в 17:36

Программа geogebra может сэкономить массу времени при подготовке рисунков

Колпаков А.Н. ноября 11, 2015 в 20:20

Спасибо за информацию. Надо поискать такую программу, хотя сильно подозреваю, что она уступит автокаду в плате возможностей. Или нет?

Елена апреля 19, 2016 в 16:43

Здравствуйте!
Скажите, высота боковой грани в любой пирамиде называется апофемой?
Спасибо.

Колпаков А.Н. апреля 19, 2016 в 21:01

Да, конечно. Высота, проведенная в боковой грани к стороне основания, называется апофемой.

Эдуард мая 25, 2016 в 14:10

Великолепная статья. Огромное спасибо. Пирамида с треугольным основанием наз. тетраэдр. Как будет называться пирамида с четырёх-, пяти- и шестиугольным основанием? Есть ли у них отличные от других свойства?
Заранее благодарю.

Оставьте комментарий