Подготовка к ЕГЭ по математике: как репетитор решает задачу С3 с ЕГЭ 2012г

Вашему вниманию предлагается решение номера С3 с последнего ЕГЭ 2012г. Используйте он-лайн материалы профессионального репетитора для своей подготовки к ЕГЭ по математике по разделу «логарифмические и показательные неравенства».

Условие C3 c ЕГЭ. Решите следующую систему (1) :
Для подготовки к ЕГЭ по математике. Задача С3 с ЕГЭ 2012.

Подробное решение репетитора по математике
Данная система представляет из себя совокупность верхнего показательного и нижнего логарифмического неравенства, а ее ответ — пересечение их ответов. Какой алгоритм решения показательного неравенства рекомендует использовать репетитор по математике? Необходимо увидеть и выполнить замену переменной t=2^x. После введения t, переноса числа 5 в левую часть и приведения дробей к общему знаменателю, репетитору по математике открывается довольно простая дробная конструкция с квадратным трехчленом в числителе. Итак, после замены:
Неравенство, полученное репетитором по математике после замены

Разложим на множители числитель дроби:
Это неравенство репетитор по математике решает методом интерваловПолученное неравенство репетитор по математике решает методом интервалов. Для этого на оси t отмечаются нули числителя (t=0 и t=5, входящие в ответ) и единственный ноль знаменателя t=32 (не входящее в ответ). В правом промежутке ставится знак «плюс» (для его проверки достаточно подставить любую пробную точку промежутка (32; + \infty) , например t=33). Поскольку все степени отдельных линейных выражений в числителе и в знаменателе нечетные, то при переходе через каждую отмеченную точку данная дробь будет менять знак. Таким образом репетитор по математике получает следующее распределение знаков:

Какое распределение знаков получил репетитор по математике

Итак, ответ первого неравенства системы (1) такой: x \in [0;5] \cup (32;+\infty)

Для решения второго неравенства, дабы не разбирать два случая по основанию логарифма (как это предлагает МИОО), воспользуемся чрезвычайно полезным общим свойством: знак разности логарифмов log{a(x)} f(x) - log_{a(x)} g(x) совпадает со знаком произведения (a(x)-1)(f(x)-g(x)) на ОДЗ. Перенесем единичку в левую часть и представим ее в виде логарифма по основанию 0,25x^2, получим:

log_{0,25x^2} \left ( \dfrac{6-x}{4} \right ) - log_{0,25x^2} 0,25x^2 \leqslant 0

После применения указанного выше факта (некоторые репетиторы по математике называют ее «теоремой о знаке разности логарифмов»), будет получена равносильная логарифмическому неравенству система:
Полученная репетитором по математике система

Три нижних строчки определяют ни что иное, как ОДЗ разности логарифмов. После несложных преобразований, раскладывающих левую часть первого неравенства на множители и упрощающих это ОДЗ, приходим к виду:

Система для решения второго неравенства на ЕГЭ

Он является равносильным алгебраическим заменителем второго неравенства системы С3 на ЕГЭ по математике 2012г. Заметим, что в первой строчке (0,5x-1) и (x-2) имеют равные нули x=2, поэтому после вынесения из скобки (0,5-1) числа 0,5 получим 2 сопадающих выражения (x-2) и еще раз (x-2) . Любой репетитор по математике заменил бы их полным квадратом (x-2)^2. Сделаем это и мы. В итоге система преобразится до окончательной:

Окончательная система

Рисунок для решения -(x-2)^2(0,5-1)(x+3) \leqslant 0:
Знаки репетитора по математике для первого неравества

C учетом пересечения с ОДЗ:
C учетом пересечения с ОДЗ

Осталось найти пересечение полученного множества точек с ответом первого неравенства системы (1). Для этого необходимо понять, в каком интервале лежит неудобный для сравнения с границами \log_{2} 5. Однако, легко определить, что он больше 2. Обоснование следующее: log_{2}4 < log_{2}5<log_{2}32 \implies 2< log_{2}5<5

Финальное пересечение репетитора по математике для ответа С3 с ЕГЭ 2012г имеет вид:
Финальное пересечение репетитора по математике

Ответ: x \in (-infty;-3] \cup (-2;0) \cup (0;2) \cup (2;log_{2}5) \cup (5;6)

Репетитор по математике Александр Николаевич. Подготовка к ЕГЭ в Москве. Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий