Подготовка к ЕГЭ по математике: планиметрия С4

Что собой представляет из себя подготовка к ЕГЭ по математике, включающая разбор задач с4? Какую стратегию обычно выбирает репетитор в работе со сложной планиметрией? К сожалению, прагматизм некоторых учеников, позднее начало занятий и их жесткие временные условия не позволяют репетитору по математике развернуть качественную широкомасштабную работу по подготовке к ЕГЭ. Репетитор иногда намеренно игнорирует некоторые темы и даже разделы, ибо на полноценное изучение (повторение) всего школьного курса нужен как минимум год. Поэтому сразу отмечу, что не каждая подготовка к ЕГЭ по математике и далеко не с каждым учеником затрагивает конкурсную планиметрию С4.

Не секрет, что для многих учеников геометрия на ЕГЭ вызывает гораздо больше опасений, чем алгебра, теория вероятностей и даже физическая задача. Почему? Как мне кажется, это происходит из-за крайне низкого уровня изучения этого предмета в школах, а также из-за широчайшего диапазона взаимосвязей между элементами фигур и их комбинаций. Изучать с репетитором по математике геометрию также как и алгебру, к сожалению, тоже не всегда получается. Невозможно действовать по образцам и стандартным типовым номерам, как в случае с уравнениями, неравенствами, функциями. Предмет более глубокий и требует большего размаха мышления, объемных и систематизированных знаний.

Если мы говорим о попытке оптимизировать набор баллов на ЕГЭ по математике, то преподавателю будет выгоднее сконцентрироваться на алгебре. Если репетитор по математике задумает довести планиметрию до хорошего уровня, то на это может уйти как минимум несколько месяцев и не факт, что попадется задача, с которой абитуриент справится. Гораздо эффективнее можно поработать с обучением решать типовые уравнения, неравенства или даже задачу С2.

О проблеме стандартов ЕГЭ по математике.
Огромным недостатком ЕГЭ, как мне кажется, является отсутствие средних по сложности планиметрических задач. Некуда как отдельный номер на поиск биссектрисы или медианы в треугольнике с известными сторонами, на комбинацию подобных треугольников, вписанной в треугольник окружности. Поэтому рентабельность, если так можно выразиться, подготовительных задач оказывается крайне низкой. Репетитор математики может убить целый месяц на поиск площадей или углов в стандартных ситуациях и не обеспечить ими получение ни одного балла на ЕГЭ. Поэтому важно, чтобы реально оценить ученика, прежде чем браться за С4.

Если репетитор по математике собирается охватить всю планиметрию, то он должен понимать, какого масштаба предстоит работа. Математиками придумано огромное множество конкурсных задач по планиметрии и для того, чтобы охватить все комбинации фигур и приемов, нужны определенные способности ученика и немалые временные ресурсы.

Поговорим о том, как репетитору по математике подготовить ученика к сложной планиметрии. Предположим, что алгебраическая часть не внушает опасений и репетитор располагает необходимым временем на серьезную методическую работу. Какие приемы и стратегии я использую?

Этап 1. Базовые задачи

К ним я отношу, прежде всего, работу с треугольником. С поиска его элементов репетитору по математике необходимо начать подготовку к С4. Важно довести умение искать стороны, отрезки, углы и площади до автоматизма. Почти всегда на первом уроке я рассматриваю интегрированную задачу. Беру треугольник с тремя сторонами и начинаю исследовать его от начала и до конца, то есть показываю как найти 1) медиану m (двумя способами) 2) высоту h (двумя способами) 3) биссектрису b 4) площадь 5) радиус описанной окружности 6) радиус вписанной окружности 7) отрезки, на которые точки касания вписанной окружности делят стороны 8) расстояние между точками касания 8) углы треугольника.

После произвольного случая репетитору по математике переходит к прямоугольному и равнобедренному треугольнику. Почему так? Даже если ученик не увидит каких-то особых путей нахождения тех же девяти элементов, он сможет повторить общие выкладки. Однако использовать теорему косинусов или синусов, формулу Герона в прямоугольном треугольнике, конечно же, не стоит.

Этап 2. Задачи на отдельные темы и теоремы.

Далее я рассматриваю задачи, главным звеном в решении которых является какой-нибудь распространенный прием или часто применяемая терема. Важно не пропустить какую-либо классическую ситуацию. Особое внимание уделяется обучению работе с отношениями. Репетитору по математике приходится ломать представление большинства школьников о том, что при работе, например, с отношениями длин отрезков нужно обязательно выражать их через икс. Среди не самых сложных для понимания теорем есть несколько таких, в отношения рассматриваются самостоятельно. Вместо них можно сразу же поставить дроби из условия. Например, я всегда предлагаю задачи на теорему Менелая, на теорему об отношении площадей подобных треугольников и на одну из моих любимых и обязательно включаемых в планы теорем – терему о разделительном отрезке в треугольнике. Ее формулировка: если через вершину треугольника проведен отрезок к его основанию, то площадь делится на части в отношении частей основания. Огромное количество сложных задач на площади легче решаются с ее помощью. В школьном курсе она специально не выделяется и присутствует только в задачах. Будет правильно, если репетитор по математике оформит ее как отдельный факт. В моей системе работы ей всегда отводится почетное место в теоретической тетради ученика.

Если преподавателю нужно выжать из ученика максимальный для него балл на экзамене, то приступать к планиметрии уровня С4 нужно после того, как репетитор по математике «приведет в порядок» задачи B1-C3. Почему? Прежде всего из за огромного размаха материала. Практически вся планиметрия концентрируется в одном номере. Если, например, для поиска решения в логарифмических неравенств (номер С3) репетитор по математике выделяет ограниченный теоретических набор средств — стандартных равносильных переходов, то в случае с планиметрией этот «фокус» не проходит. Каждая новая комбинация фигур и данных в условии приносит свои подходы к решению, до которого бывает сложно догадаться. Даже если помнить все теоремы наизусть. Приходится набивать руку на решении большого количества задач. Хорошо, если репетитор по математике располагает для этого достаточным количеством времени.

Этап 3. Обучение умению видеть применимость теорем.

Как правило, абитуриент помнит теорему, но часто не может выявить ее в конкретной ситуации. Здесь репетитор по математике действует образно. Предлагаются рисунки с типичными ситуациями расположения объектов: различных сочетаний треугольников, четырехугольников, окружностей, параллельности, пересечений и т.д. От ученика требуется найти факты (просматривая свою теоретическую тетрадь) которые могли бы быть в них использованы. По началу репетитор по математике сам их называет. Затем инициатива переходит от репетитора к ученику.

Этап 4. Обучение анализу условия.

Важно научиться понимать, какие данные условия и на что влияют. Очень полезно бывает представить себе картинку в движении, если поменять те ее параметры, которые в условии не указаны. Если что-то при этом будут меняться какие-то длины отрезком или углов, то это значит, что найти их нельзя никак. Самыми сложными являются те задачи, в которых «ползут» все параметры, за исключением того единственного, который и спрашивается. В таком случае советы репетитора по математике сводятся к тому, чтобы не бояться вводить несколько переменных сразу. В правильном решении они сократятся.

Этап 5. Практика решения задач на разные приемы и теоремы.
Это финальный этап подготовки к ЕГЭ по математике для С4. На нем репетитор разбирает полноценные конкурсные задачи, двигаясь от менее сложных к более сложным номерам. Уже много лет я использую в работе сборник задач по математике с подготовительных курсов в РЭА им. Плеханова. С приходом ЕГЭ мало что изменилось. Планиметрия как была планиметрией, так ей и осталась. Восхищаюсь его подборкой задач. Они разбиты на типовые группы, в каждую из которых попадает сразу несколько задач одного уровня. Прекрасный материал для работы.

Может ли репетитор по математике натаскать на задачи С4?

Нет. И это принципиальное отличие их от задач «B» части. Такого рода подготовке к ЕГЭ по математике возможна в отдельных номерах на поиска экстремумов, при работе с касательной, в некоторых простейших задачах на вычисление, в стереометрических задачах части «B». Натаскивание – процесс механического запоминания типового универсального алгоритма решения задачи при многократном к нему обращении. Для планиметрии не существует такого алгоритма и поэтому репетитором по математике рассматривается методика максимального разнообразия решаемых задач. Их даже классифицировать не получается.

О домашних заданиях.
Помните о том, что репетитор по математике всегда задает домашние задания, если занимается с учеником серьезно. Особенно это важно при интенсивной подготовке к ЕГЭ. Чем больше ученик будет решать самостоятельно, тем лучше будут его результаты на экзамене.

Александр Николаевич, репетитор по математике – Москва. Подготовка к ЕГЭ.