Подготовка к ЕГЭ по математике с репетитором на реальном варианте 2012 года. Задача С6

Продолжаю публиковать решения задач с последнего ЕГЭ. Если Вам требуется серьезная подготовка к ЕГЭ для поступления в МГУ, ВШЭ или другие ВУЗы с сильной профильной математикой, то нельзя отказываться от задач С5 и С6. Замечу, что не каждый репетитор по математике способен провести полноценную подготовку по топовым задачам и поэтому сам часто нуждается в изучении подробных решений С6 из уже проведенных ЕГЭ. В помощь таким репетиторам по математике — подробные обоснования методов объяснения на примере демонстрации решения среднему ученику. Я стараюсь оформлять страницы для широкого круга посетителей. Разумеется она предназначена и для самих абитуриентов.

Задача С6 на ЕГЭ 2012г

Все ученики класса были в театре или кино, некоторые, возможно, были и в театре и в кино. Мальчики, которые были в театре, составляли не более \dfrac{4}{13} тех учеников, которые были в театре. Доля мальчиков, побывавших в кино, составляла не более \dfrac{2}{5} всех учеников, побывавших в кино. Ответьте на вопросы:
1) Может ли в этом классе быть ровно 10 мальчиков и 10 девочек?
2) Может ли быть 11 мальчиков и 9 девочек?
3) Какую максимальную долю учащихся всего класса могут составить мальчики, если количество учеников в классе не ограничено.

Первые два вопроса не сложные и среднестатистический репетитор по математике обычно справляется с ними. На первый вопрос ответ «да», на второй «нет» (опубликую соответствующие объяснения позже). Серьезная проблемы возникают с последним вопросом. Ему и уделим внимание.

Комментарий репетитора по математике к способу решения:
Замечу, что для проведения исследований в общем случае придется обратится к средствам линейного программирования. В школе оно не изучается (разве только для двух переменных и в хорошем математическом классе). Здесь же, с учетом поиска именно частей, мы получаем 5 произвольных величин, меньших единицы (за единицу взят весь класс). Надо еще учесть, что найденные линейным программированием дроби могут не быть теми значениями, которые достигаются, ибо количество учеников не может быть дробным. Какая подготовка к ЕГЭ по математике могла бы обеспечить такие знания? В любом случае репетитор должен найти школьное решение и в доступной форме показать его ученику. Чем и займемся.

Этап 1. Общая оценка ситуации. Репетитор по математике иллюстрирует задачу через схему:

Схема репетитора по математике к задаче С6 с ЕГЭ 2012

Схема репетитора по математике к задаче С6 с ЕГЭ 2012

Очень важно, чтобы все рассуждения репетитора (особенно в сложных задачах) подкреплялись соответствующими графическими моделями и иллюстрациями. Рассмотрим такую модель. Она имеет название круги Эйлера. В область, окруженной коричневой линией собраны все мальчики, в фиолетовую — только девочки. В общую часть (в пересечение кругов) собраны те ученики, кто был в и кино и в театре. Каждая из трех областей произвольным образом может быть разделена на мальчиков и девочек. Для демнстрации этих разделений используются три горизонтальные линии и два цвета: синий и белый (синяя часть — мальчики, белая -девочки). Получается 6 переменных, а с учетом единицы, которой можно обозначить весь класс, — 5 переменных. Все! Больше ни слова о линейном программировании :). Итак, синяя область выделяется репетитором по математике для иллюстрации мальчиков.

Этап 2. Репетитор по математике сокращает количество переменных.
Этап 2. Репетитор по математике сокращает количество переменных Суть приема — уократить количество рассматриваемых раскладов. Самое главное, что надо сделать репетитору, — суметь объяснить (доказать) ученику, что любой расклад с ненулевым количеством мальчиков в общей части коричневого и фиолетового кругов не может быть оптимальным и поэтому удаляется из рассмотрения. Как это показать? Допустим, что в данной части находится мальчик. Заменим его двумя другими мальчиками: одного отправим только в кино, а другого только в театр. Этот процесс показан на расположенном выше рисунке.

Получается новый расклад, у которого по сравнению с начальным вариантом увеличивается общая доля мальчиков (так как появился еще один). Одновременно с этим доли синих частей в коричневом и фиолетовом кругах остаются неизменными, ибо внутри каждого облака (круга) происходит простое перемещение мальчика с одного края в другой (движение черной точки на рисунке). Репетитор по математике просит ученика представить себе ситуацию, как будно мальчик раздвоился (этот процесс хорошо иллюстрируется на рисунке стрелочками). В этом случае репетитору удается сохранить все требования условия и одновременно с этим увеличить долю, которую надо оптимизировать. Рассуждая аналогично при удалении каждого мальчика из пересечения, можно добиться того, что их не останется вовсе, однако общая доляокажется больше, чем у первоначального расклада. Следовательно самый первый вариант (с ненулевым пересечением) не сможет стать оптимальным.Репетитор по математике рассматривает путое пересечение Репетитору по математике останется рассмотреть только пустые пересечения (ни один из мальчиков не был одновременно в театре и в кино). Схема, иллюстрирующая рассуждения репетитора, представлена на рисунке справа.



Этап 3. Перевод девочек в зону пересесения.
Перевод одной девочки в зону пересечения.Иллистрация репетитора. Возьмем любую девочку, не находящуюся в пересечении. Ее перевод в зону пересечения не изменит ни долю мальчиков в классе, ни их долю в каждом из кругов. Поэтому расклады с девочками, побывавшими только в одном заведении, имеют равнозначную (для поиска максимума) ценность с раскладом, в котором все девочки ходили и туда и туда. То есть, если какой-то из первых вариантов дает максимум по доле, то найдется вариант с собранными девочками в общую часть кругов, дающий ту же максимальную долю. После этих наблюдений репетитору по математике останется исследовать только случаи, в которых все девочки были и в кино и в театре (cм. рисунок):
Расклады, в которых все девочки были и в кино и в театре

Исследуем эти расклады. Пусть x — фиксированное количество девочек в каком-либо из них, Т — количество учеников, побывавших в театре, К — количество учеников, повывавших в кино,
M_K — количество мальчиков, побывавших в кино, M_T — количество мальчиков, побывавших в театре.
Очевидно, что доля мальчиков в классе при фиксированном количестве девочек будет максимальной только тогда, когда сумма M_K + M_T окажется наибольшей.

Так как синие области независимо прикрепляются к белому пересечению, то для выполнения предыдущего требования необходимо, чтобы каждое из слагаемых оказалось максимальным среди отвечающих условиям M_K \leqslant \dfrac{2}{5} \cdot K и M_T \leqslant \dfrac{4}{13} \cdot T .

Последнее равносильно тому, что M_K \leqslant \dfrac{2}{3}x и M_T \leqslant \dfrac{4}{9} x , поэтому

M_K = \dfrac{2}{3} x и M_T =  \dfrac{4}{9} x .

Тогда доля мальчиков в классе составит:

\dfrac{\dfrac{2}{3} x + \dfrac{4}{9} x}{x+\dfrac{2}{3} x + \dfrac{4}{9} x}=\dfrac{10}{19}

Замечание: Такое решение нельзя считать на 100% корректным, так как в нем не учитывается, что количества учеников — натуральные числа. Логика репетитора по математике позволяет утверждать лишь то, что существует действительная тройка чисел x, M_K, M_T, с найденным максимумом выражения \dfrac{M_K+M_T}{x+M_K+M_T }. То есть никакая другая тройка не сможет дать большую долю. А существует ли среди них натуральная тройка — надо определять дополнительно.

Но это совсем несложно сделать (главное, чтобы репетитор по математике сумел убедить ученика в необходимости такого поиска). Достаточно взять любое x кратное одновременно знаменателям 3 и 9. Очевидно, подходит число 9. Тогда получаем: 9 девочек; \dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6 мальчиков-киношников; \dfrac{4}{9} \cdot 9 = 4 мальчика — театрала. Вот и все!

Ответ репетитора: \dfrac{10}{19}

Я рассматривал этапы сложной части С6 максимально подробно, дабы уйти от лишних преобразований, позволяющих оценить исследуемую долю чисто алгебраически. Такое решение было предложено в МИОО. Мне хотелось продемонстрировать репетиторам по математике технику словесных обоснований. Как показывает практика, она имеет большую пробивную силу при работе с учеником средних показателей подготовки к ЕГЭ.

Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве. Подготовка к ЕГЭ в Строгино.