Подготовка к ЕГЭ по математике. Задачи «С1». Решения репетитора

К Вашим услугам страничка с решениями задач С1, присланных когда-либо на мой e-mail. Команда репетиторов, участвующих в он-лайн работе, оформляет их в подробном виде, с учетом информации о потенциальном ученике. Пожалуйста указывайте свой возраст и школьный учебник по которому изучается математика. Письма без обратного адреса не рассматриваются. Неразборчивые услоия задач также отправляются в корзину. Указывайте их источник.

Вопрос репетитору по математике от Филлипа. Никак не могу получить ответ в уравнении (3-2Cos^2x-3Sin^2x)\sqrt{tgx}=0 Помогите решить, пожалуйста. Заканчиваю 10 класс. Учебник математики — зелененький. Не помню автора.

Решение : В период подготовки к ЕГЭ по математике в 2011 году репетиторы только и разбирали подобные задачки. Придется рассмотреть еще одну. Значение переменной Х превращает произведение в ноль только тогда, когда один из множителей окажется окажется равным нулю, а другой при этом примет какое-нибудь значение, то есть будет существовать. Достаточно найти нули каждого выражения исключить из этих нулей те углы, которые не входят в ОДЗ левой части. Рассмотрим множители по очереди.
1) 3-2Cos^2x-3Sin^2x=0
Cогласно основному тригонометрическому тождеству имеем право подствить вместо Cos^2x выражение 1-Sin^x и после несложных преобразований придем к уравнению:
2Sin^2x-3Sinx+1=0
Выполняя очевидную замену Sinx=t , сводим его квадратному: 2t^2-3t+1=0. По формуле корней t_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} вычисляем t_1=0,5 и t_1=1
Тогда Sinx=1 или Sinx=0,5.
Синусом угла называют ординату точки, изображающей угол. Значит нужы найти все точки тригонометрического круга с ординатами 0,5 и 1. Репетитор по математике выделил эти точки синим цветом на рисунке:
Как репетитор по математике выделил точки на круге

Cреди этих точек, изображающих корни уравнении, нужно выбрать только те, которые удовлетворяют условию tgx \geqslant 0 . Значение тангенса неотрицательно в первой и третьей четвертях, включая точки оси абсцисс. Эти углы можно выделить красными дугами,Как репетитор по математике может выделить углы красными дугами как показано репетитором по математике на рисунке слева. Из корней уравнений Sinx=0,5 и Sinx =1 в красные области попадает только одна точка, изображающая часть корней уравнения Sinx=0,5. Это arcsin0,5= \dfrac{\pi}{6}. C учетом периодичности получаем от первого множителя первоначального уравнения единственную серию углов для ответа. \dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n . На рисунке справа показано, ка крепетитор по математике отбирает углы для ответа.Как репетитор по математике отбирает углы
2) Приравняем второй можитель к нулю. \sqrt{tgx}=0 \Leftrightarrow tgx=0  \Leftrightarrow x=\pi n . При любом из этих значений выражение 3-2Cos^2x-3Sin^2x имеет смысл (так как и синус и косинус можно вычислить у любого угла), поэтому x=\pi n  — еще одна серия, попадающая в ответ. В итоге: x_1=\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n ; x_2 = \pi n ,где n \i Z — любое целое число.

Решение задачи можно было бы оформить короче через равносильные системы, но такой способ усложняет репетитору по математике процесс объяснений.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий