Подготовка к ЕГЭ по математике. Задачи «С1». Решения репетитора

К Вашим услугам страничка с решениями задач С1, присланных когда-либо на мой e-mail. Команда репетиторов, участвующих в он-лайн работе, оформляет их в подробном виде, с учетом информации о потенциальном ученике. Пожалуйста указывайте свой возраст и школьный учебник по которому изучается математика. Письма без обратного адреса не рассматриваются. Неразборчивые услоия задач также отправляются в корзину. Указывайте их источник.

Вопрос репетитору по математике от Филлипа. Никак не могу получить ответ в уравнении $(3-2Cos^2x-3Sin^2x)\sqrt{tgx}=0$ Помогите решить, пожалуйста. Заканчиваю 10 класс. Учебник математики — зелененький. Не помню автора.

Решение : В период подготовки к ЕГЭ по математике в 2011 году репетиторы только и разбирали подобные задачки. Придется рассмотреть еще одну. Значение переменной Х превращает произведение в ноль только тогда, когда один из множителей окажется окажется равным нулю, а другой при этом примет какое-нибудь значение, то есть будет существовать. Достаточно найти нули каждого выражения исключить из этих нулей те углы, которые не входят в ОДЗ левой части. Рассмотрим множители по очереди.
1) $3-2Cos^2x-3Sin^2x=0$
Cогласно основному тригонометрическому тождеству имеем право подствить вместо $Cos^2x$ выражение $1-Sin^x$ и после несложных преобразований придем к уравнению:
$2Sin^2x-3Sinx+1=0$
Выполняя очевидную замену $Sinx=t$ , сводим его квадратному: $2t^2-3t+1=0$ . По формуле корней $t_{1/2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ вычисляем $t_1=0,5$ и $t_1=1$
Тогда Sinx=1 или Sinx=0,5.
Синусом угла называют ординату точки, изображающей угол. Значит нужы найти все точки тригонометрического круга с ординатами 0,5 и 1. Репетитор по математике выделил эти точки синим цветом на рисунке:

Cреди этих точек, изображающих корни уравнении, нужно выбрать только те, которые удовлетворяют условию $tgx \geqslant 0$ . Значение тангенса неотрицательно в первой и третьей четвертях, включая точки оси абсцисс. Эти углы можно выделить красными дугами, как показано репетитором по математике на рисунке слева. Из корней уравнений Sinx=0,5 и Sinx =1 в красные области попадает только одна точка, изображающая часть корней уравнения Sinx=0,5. Это $arcsin0,5= \dfrac{\pi}{6}$ . C учетом периодичности получаем от первого множителя первоначального уравнения единственную серию углов для ответа. $\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n$ . На рисунке справа показано, ка крепетитор по математике отбирает углы для ответа.
2) Приравняем второй можитель к нулю. $\sqrt{tgx}=0 \Leftrightarrow tgx=0 \Leftrightarrow x=\pi n$ . При любом из этих значений выражение $3-2Cos^2x-3Sin^2x$ имеет смысл (так как и синус и косинус можно вычислить у любого угла), поэтому $x=\pi n$ — еще одна серия, попадающая в ответ. В итоге: $x_1=\dfrac{\pi}{6} + 2 \pi n ; x_2 = \pi n$ ,где $n \i Z$ — любое целое число.