Работа репетитора по математике с признаками делимости

Признаки делимости натуральных чисел изучаются по разным программам в разных классах. Если репетитор по математике с сентября берется за шестиклассника, обучающегося по Виленкину, то без какой-либо раскачки придется «засучить рукава». Тема поставлена в программу самым первым параграфом. С одной стороны это хорошо, так как логической сложности материал не имеет. Но с другой стороны репетитору по математике от этого не легче, так как дети успевают за лето растерять добрую половину вычислительных навыков (я уже не говорю о терминологической подготовке). Рассмотрим основные аспекты работы с темой и ошибки, которые иногда допускают репетиторы по математике от неопытности.
В программе предусмотрено изучение пяти основных признаков: на 2, на 5, на 10, на 3 и на 9, разделяющихся (вместе с внепрограммные) на две группы:

1) Без операций с цифрами (на 2, на 5, на 10, на )
2) С операциями над цифрами на 3, на 9, на 7, на 11, на 13 )

Замечу, что при изучении признаков репетитор по математике попутно знакомит ребенка с правилами работы логической связки «если – то». Практика показывает, что большинство детей нормально воспринимают тексты признаков с ее участием и какой-либо подготовки к ее восприятию не требуется.

Какие ошибки часто совершает неопытный репетитор по математике?

Прежде всего, они связаны с попытками доказать признаки. Я не исключаю такой работы с отдельными (очень сильными) учениками, но если репетиром не проводится соответствующая подготовка через темы «делимость суммы» и «делимость произведения», то доказательство, скорее всего, будет обречено на провал. Нельзя рассчитывать на смекалку ребенка (даже если он учится в математическом классе) или на очевидность участвующих в доказательстве фактов.

О доказательстве по Петерсону.
Я не считаю, этот учебник правильным с точки зрения уместности строгого изложения математики на столь раннем этапе ее изучения. У 99% детей в 11 лет еще нет потребности обосновывать изучаемые явления и тем более они не могут работать с выводами построенными по принципу «от общего к частному». Их мышление работает в обратном направлении, то есть «от частного к общему». Да, шестиклашек легко «обмануть», но также легко и направить в нужную сторону. Одного-двух примеров репетитора по математике достаточно для того, чтобы убедить школьника 5 класса в верности или неверности того или иного закона, правила. Так и с признаками делимости. Достаточно проверить, что у чисел, делящихся на 3, сумма цифр тоже делится на 3. Кстати проверяется именно свойство делимости, а в тетрадях записывается обратный к нему признак. Не заметили? Для 5 класса это нормальное явление.

Если уж репетитор по математике выбрал доказательный путь объяснения темы, то действовать нужно по образцу, предложенному учебником Петерсона. То есть проводить общие рассуждения по аналогии работы большим числом (трех-четырехзначным), раскладывая разрядные слагаемые на множители и заменяя круглые числа суммами 9+1, 99+1, 999+1,… Проблема состоит в том, что репетитору по математике приходится работать с большим числовым выражением, на котором даже сильный ученик легко может потерять внимание. Для того, чтобы оно не рассеивалось, репетитор по математике раскрашивает цифры числа:

Как репетитор по математике решает практическую проблему работы с признаками?

При решении примеров (даже из учебника) учащемуся нередко приходится определять делимость на 3 или на 9 у больших чисел. Дети с ослабленной памятью и неустойчивым вниманием часто не могут удержать в голове текущее значение суммы цифр. Как репетитор по математике снимает проблему ошибок от невнимательности? Лучший путь – уменьшить количество параметров, которые нужно удерживать в голове. Цифр много, но не обязательно складывать все цифры подряд. Если репетитор по математике провел соответствующую работу с темой «делимость суммы» (а даже если и не провел) он может посоветовать школьнику вычеркивать из записи цифры (и суммы цифр), делящиеся на то же самое число (на 3 или на 9 соответственно). Вот как выполняется задание репетитора по математике:

Огромный вес в дидактике имеют задания на заполнение пропусков. В случае с признаками они приобретают еще и занимательный характер. Требуется вставить вместо звездочки такую цифру, при которой полученное число будет на что-нибдуь делиться. Репетитор может принести задание на вставку одинаковых цифр или с требованием делимости сразу на несколько чисел. Хорошие результаты репетитору по математике приносят многослойные задания. Например:
1) делится ли число 356596128 на 3? Если «Нет», то можно ли переставить две цифры так, чтобы новое число делилось на 3?
2) делится ли число 3549159732 на 5? Если «Нет», то можно ли так переставить две его цифры, чтобы новое число делилось на 5?

Я прдпочитаю рассказывать признак делимости на 4, несмотря на то, что он отсутствует в учебнике: если две последние цифры делятся на 4, то и все число делится на 4. Рабоать с ним легко, на практике часто приходится определять делимость (сократимость) на 4. Почему бы его не принять во внимание? Единственное требование, предъявляемое в таком случае к репетитору по математике состоит в подборе сисетмы упражнений на признак на 4. Задания репетитора могут быть стандартными: заполнить пропуск, выписать числа, делящиеся на 4 (в том числе и из заданного промежутка).

Если приходит сильный шестиклассник я часто рассказываю еще и признак делимости на 11. Несмотря на то, что в общем виде для его применения могут потребоваться отрицательные числа, репетитор по математике нехитрым способом обходит их. Как? Дупустим, что требуется исследовать делимость на 11 числа 2650781329. Цифры 2,5,7,1,2, расположенные на нечетных местах (со стороны старшего разряда), отправляются в одну группу (их лучше обвести / подчеркнуть и отдельно выписать), а остальные цифры (6, 0, 8, 3, 9 и 0) — в другую. Цифры в каждой группе складываются, а полученные результаты вычитаются (из большей суммы вычитается меньшая). Образец оформления примера репетитором по математике показан на рисунке слева. Цифры можно акуратно сместить по колонкам, и аналогичным образом раскрасить. Если результат вычитания оказывается кратен на 11, то и начальное число делится на 11. В нашем случае этого не происходит.

Надо отметить, что тема «признаки делимости» является по большей части служебной. Ее освоение во многом определяет скорость формирования навыка разложения на простые множители, поиска наименьшего общего знаменателя и сокращения дробей.

Обычно вычеркивается 80-90% всех цифр у числа и сложение оставшихся уже не представляет какой-либо сложности даже для очень слабого школьника.

А.Н. Колпаков. Репетитор по математике 5 — 6 класс. Москва. Строгино