Работа репетитора по математике с векторами. Подготовка к задаче С2 на ЕГЭ

Насколько сложной может быть задача С2 на ЕГЭ и как обучать ее решению? Должен ли репетитор по математике заострять внимание школьника на общих аналитических векторных приемах или подготовку к сложной стереометрии провести на частных методах, с использованием перпендикуляров, параллельностей, треугольников и объемов? Вряд ли можно дать однозначный ответ на такой вопрос. Уж больно разные ученики проходят подготовку к ЕГЭ. Даже в том случае, когда репетитору по математике предоставляется необходимое время (2 или даже 3 раза в неделю), а ученик располагает необходимыми способностями для усвоения внепрограммного материала (некоторых разделов аналитической геометрии), вводить на занятия метод координат следует очень осторожно.

Стоит отметить, что векторные приемы изучаются в школе в весьма ограниченном количестве. В базовый учебник стереометрии Л.С. Атанасяна включен целый параграф «скалярное произведение векторов» и даже отдельно рассматривается нахождение углов между объектами. Однако дальше темы «вычисление угла между прямыми» и осторожного намека на аналогичный алгоритм для прямой и плоскости материал не рассматривается. И даже не вводится такое понятие, как «нормаль».

Как правило, репетитор по математике выбирает одну из трех стратегий подготовки к задаче С2 на ЕГЭ:
1) Полный отказ от векторных приемов
2) Изучение отдельных алгоритмов
3) Демонстрация всех приемов (без доказательств) для самых сильных учеников.

Координатный метод позволяет репетитору по математике рассмотривать множество самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего, ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости», «смешанное и векторное произведение векторов». К тому же аккуратный вывод самих формул заставляет прилично углубиться в теорию, без которой добиться 100%-го понимания будет невозможно.

При работе в координатах со средним по силе учеником, учебный план репетитора по математике включает в себя работу только с алгоритмами поиска углов. Рассмотрим их подробнее.

Преимущество методов аналитической геометрии перед альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься исключительно числами (координатами). Поэтому в определенных условиях подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные решения. Причем за весьма короткий срок и в обход большого количества тем. Как бы не ругали методику натаскивания, такую любимую у репетиторов по математике, она часто является единственным инструментом для достижения хотя бы каких-то приличных результатов на ЕГЭ.

Если у абитуриента имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, то репетитор по математике строит работу по С2 на векторах. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда на подготовку к ЕГЭ репетитору отводится всего лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени на неспешный комплексный подход, то лучше все го сразу обратиться к координатам.

Три проблемы координатного метода:
О каких проблемных ситуациях должен помнить репетитор по математике? Какие ошибки чаще всего допускаются абитуриентами?

1) От того, что забывают алгоритм поиска нормали
2) Путаются с введением системы координат или с определением координат у точек (задающих прямые и плоскости) в разных многогранниках.
3) Не справляются с вычислениями, если в координаты вершин попадают квадратные корни. Обычно эта ситуация возникает в треугольных пирамидах, чья структура порождает появление числа \sqrt{3}.

Именно поэтому хороший репетитор по математике отдельно останавливается на этих компонентах. Третью проблему снять не удается. Пирамиду не переделаешь. А вот получить практику нахождения нормали и научиться определять координаты вполне реально.

Какую подготовку к восприятию векторных приемов проводит репетитор по математике?

Несмотря на дефицит времени при подготовке к ЕГЭ, в экспресс работа все равно проводится поэтапно. Необходимо повторить следующие темы:

1) Координаты точки и координаты вектора
2) Длина вектора
3) скалярное произведение векторов
4) координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).

Как и в других темах у меня есть свои приемы для запоминания формул. Какие формулы тяжелее всего запомнить? Те, которые нужно учить целыми блоками, которые в целом схожи друг с другом, но расходятся в мелочах. Вот эти мелочи из головы как раз и выпадают, ибо тонут в общей массе знаков. Как репетитору по математике следует поступить с формулами нахождения углов? Для этого вспомним их содержание.

Угол между векторами (между прямыми)
На каждой прямой AB и CD выбираются удобные точки, определяются их координаты, вычитаются и вот оно — главное оружие репетитора — направляющие векторы \overrightarrow{AB} (x_1;y_1) и \overrightarrow{CD}(x_2;y_2)Угол между векторами - главное оружие репетитора по математикеКосинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами, а сам косинус вычисляется через их длины и скалярное произведение. Репетитор записывает в теоретическую тетрадь следующую формулу:

Cos (\widehat{AB,CD}) =\left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}}) \right \vert =\left \vert \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \right \vert

Угол между прямой и плоскостью
Пусть даны вектор \overrightarrow{n} (x_1;y_1), перпендикулярный к некоторой плоскости \boldsymbol{\alpha} (ее нормаль), и направляющий вектор \overrightarrow{AB}(x_2;y_2) для прямой AB. Угол между прямой и плоскостьюСинус угла \boldsymbol{\psi} между прямой AB и \boldsymbol{\alpha} равен модулю косинуса угла между нормалью \overrightarrow{n} и направляющим вектором \overrightarrow{AB} прямой AB, то есть:

Sin \psi = \left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{n},\overrightarrow{AB}}) \right \vert = \left \vert \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \right \vert

Угол между плоскостями
Пусть \overrightarrow{n_1} (x_1;y_1) и \overrightarrow{n_1} (x_1;y_1) — две любые нормали к плоскостям. Угол между плоскостями Тогда косинус угола \boldsymbol{\psi} между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями. Репетитор по математике дает фронтальное изображение плоскостей и показывает схожую с предыдущими формулу:

Cos \psi = \left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}}) \right \vert =\left \vert \dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2+y_2^2}} \right \vert

и снова обращает внимание на необходимость поставить модуль. На вопрос: «Зачем нужен модуль?» репетитор отвечает так:«Если его убрать, то острый угол между прямыми может оказаться отрицательным (при тупом угле между векторами)».

Как репетитор по математике справляется с проблемой заучивания?

Почему абитуриенты забывают формулы? Не только потому, что мало решают задачи. Сложно запомнить сразу несколько формул, которые к тому же еще и похожи друг на друга. Практика показывает, что школьники совершенно не умеют отслеживать отличия и взаимосвязи в содержании с теми объектами или процессами, которые формулы описывают. Хороший репетитор по математике учит абитуриента искать эти особенности — маленькие зацепочки, при помощи которых можно быстрого и легко запомнить состав функций, знаков, операций.

Формулы для нахождения углов по координатам — не исключение. Ученику сложно запомнить, с какой функции каждая их них начинается? Если репетитор по математике обратит его внимание на участие в каждой из них косинуса (он занимается непосредственным вычислением), то это поможет запомнить среднее звено. Как вспомнить функцию, с которой формула начинается? Заметим, что если объекты, между которыми ищется угол, — разного вида (плоскость и прямая), то и тригонометрические функции будут разного вида (включаем ассоциативную память), а если одного вида (две прямые или две плоскости), то и функций будут одного вида. Поскольку косинус закрепелен «намертво», то при «разных» начинаем с синуса, а при «равных» с этого же косинуса. Очень просто запоминается. Кроме этой закономерности репетитору по математике неплохо было бы выделить общий характер формул: синус/косинус угла между объектами равен модулю косинуса угла между их заменителями. Заменителем прямой является направляющий вектор, а заменителем плоскости — ее нормаль (любая).

Правильная подготовка к ЕГЭ по математике, проводящаяся со способным учеником в течение 1,5 — 2 лет включает в себя обязательную практику решения задач методом координат. Причем в 50% случаев я рассказываю тему «уравнение плоскости» и даже вывожу формулу расстояния от точки до плоскости. Правильным я называю график занятий с периодичностью не менее «2-х раз в неделю».

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — Москва. Подготовка к ЕГЭ.