Репетитор математики о методике распознания

Умение решать задачи по геометрии – великое искусство, которое не приходит к человеку за один урок. Репетиторам хорошо известно, насколько редко оно встречается у современного школьника. Почему? Одна из причин состоит в неумении пользоваться формулами и теоремами, видеть их в определенной комбинации объектов. Каким образом это умение может развить репетитор по математике?

Все достигается тренировками и упражнениями. Вопрос только в том, какие они. Если репетитор математики даст ученику самую обычную «крепкую» задачу по планиметрии, он может запутается в одном только ее тексте или рисунке. Числовые условия добавят вычислительных хлопот, а комбинация нескольких фигур, скорее всего, принесет длинный алгоритм решения и не позволит репетитору по математике обеспечить необходимую плотность выполнения целевых упражнений. Поэтому нужны определенные подготовительные формы. В этой статье я поделюсь примерами наиболее эффективных с точки зрения репетитора заданий, направленных на работу с несколькими теоремами одновременно.

Репетитор по математике о работе с рисунками

Деятельность ученика в момент размышлений над задачей носит вариативный характер. Он перебирает в голове известные ему математические факты и пытается примерить навыки работы с ними к предложенным условиям. Одним из препятствий этому процессу является проблемы с организацией такого перебора. Ученик или не знает теорем, или не может распознать их на элементах комбинированного чертежа. Если репетитор по математике будет предлагать рисунки с отдельными элементами, то школьник не получит навыка многоходовой работы и растеряется в сложной ситуации. Нужны несложные обзорные задания, способные охватить весь круг известных в данный момент школьнику теорем или формул. Как репетитору организовать такую работу? Предлагаю следующую форму:

Репетитор по математике показывает ученику картинку с комбинацией фигур (для начала достаточно одной пары) в наиболее типичной для задач ситуации. Требуется перечислить (устно или письменно) все возможные взаимосвязи (теоремы или формулы), применимые к элементам рисунка (к отрезкам, углам, дугам, площадям). Нужно найти как можно больше вариантов.

На старте репетитору математики достаточно провести какой-нибудь отрезок в треугольнике, например биссектрису угла, и продемонстрировать с ее помощью что именно требуется от ученика. Сколько теорем на данном рисунке Вы сможете выявить? Интересуют, в том числе, и повторения. Почему? Мало знать теорему о сумме углов в треугольнике. Нужно помнить еще и том, что она применима к любому треугольнику, которых на рисунке с биссектрисой целых 3 штуки. Поэтому репетитором по математике ставится задача указать все варианты ее использования. Главное чтобы теорема или формула работала с разными элементами рисунка. Результатом выполнения задания должно быть письменное указание на геометрический факт вместе с частотой его использования. В нашем примере около записи «сумма углов в треугольнике» ученик ставит цифру 3.

Если преподаватель математики задумал взять в оборот определенный отрезок, то его концы нужно обозначить. Это важно для точек касания и для любых пересечений. Если репетитору математики не удается передать условие только линиями, информация отображается рядом с рисунком. Это необходимо для работы с равнобедренным треугольником, параллельностью, равнобедренными трапециям, видами параллелограммов и др.

Репетитор может договориться с учеником о любых форматах выполнения задания. Например, можно выписывать только общие формулировки теорем, а можно в том виде, в котором они применяются, то есть:

.

Для того, чтобы ученику ориентироваться на определенные результаты, репетитор по математике рядом с рисунком отмечает или общее количество теорем (включая повторения) или делает специальные заготовки с пропусками для их названий. Рядом с каждым из них записывается число этих повторений. Конечно, готовить задания в таком виде тяжелый труд.

Если репетитор по математике увидит, что ученик не справляется с поиском названий формул и теорем, он может предложить более простую форму:

Преподаватель пишет «теорема синусов — 3 раза», а ученик находит ее трехкратное применение и оформляет соответствующие равенства:

Возникают некоторые проблемы с тригонометрией, так как, например, в любом прямоугольном треугольнике можно составить равенства , однако без каких-либо дополнительных условий эта взаимосвязь ничего полезного не дает. Назвать отношение отрезков можно было бы как угодно. Но не в этом дело. Главная цель, которую репетитор по математике ставит перед учеником — выписать как можно больше взаимосвязей. Выполнение этого задания не оценивается баллами как на ЕГЭ и репетитор вполне может позволить ученику подойти у заданию творчески. Если он «сверх плана» запишет  — хуже не будет. Мы повторяем и учимся видеть. Если преподавателю математики хочется принять какие-то более четкие правила игры — можно договориться о выписывании отношений только при отмеченном на рисунке угле.

Постепенно репетитор по математике усложняет материалы большим количеством геометрических объектов. Конечно, нужно знать меру, ибо поиск и выписывание всех взаимосвязей сложного чертежа отнимает немало времени. Думаю, что сложнее того чертежа, который вы види на рисунке слева предлагать не стоит. Лучше расколоть на несколько средних по уровню варинтов.

Репетитор математики об уникальности методики:

Пока еще я не встречал намека на подобную работу ни в одном учебнике или пособии для подготовке к ЕГЭ по математике. По началу ученик может даже растеряться, ибо составлением списка теорем ранее заниматься не приходилось. Даже репетиторы по математике иногда пропускают на рисунке некоторые факты. Сложность в том, что они выписываются в избытке и значительно превышают то небольшое количество, которое обычно используется в реальных задачах. Это непривычно. Например, в ситуации с биссектрисой часто пропускают зависимость между площадями: , теорему косинусов для разных углов разных треугольников и т.д. Поупражняйтесь в переборе. Это доставит вам немало хлопот.

Соревнование с репетитором.

Одной из форм организации работы ученика при выполнении такого рода заданий является соревнование с репетитором по математике. Что оно из себя представляет? Школьник записыват теоремы у себя в тетради, а репетитор у себя. Затем сравниваются результаты. Сколько ты нашел разных теорем? Шесть? А я 7. Найди еще одну. Даже страшеклассники любят устранивать различные состязания. Этим можно воспользоваться для поддержки интереса к занятиям.

Даже простой рисунок дает репетитору по математике массу возможностей повторить теоремы. Причем обращение происходит сразу к нескольким фактам и в ситуациях максимально приближенных к «боевым». Если возникают проблемы поиска, то репетитор по математики открывает перед учеником теоретическую тетрадь с отдельными рисунками к теоремам. По порядку перебираются все записанные геометрические факты. Каждый из них примеряется к предложенному заданию. Например, ученик находит в тетради свойству отрезков хорд и пробует найти аналогичные элементы рисунка в предложенной комбинации окружности с каким-нибудь описанным или вписанным в нее четырехугольником.

Для домашней работы репетитору математики достаточно нарисовать несколько вариантов расположения фигур. Я даю их целыми группами. На разные сочетания.

Конечно, применять методику можно только начиная с 8 класса, когда в копилке фактов накопится достаточно количество геометрических сведений. Максимум ее КПД приходится на период подготовки к ЕГЭ по математике в решении планиметрических задач типа C4. Именно в них даются сложные и часто уникальные сочетания условий, для которых нужно иметь навык выявления полного спектра взаимосвязей.

С приобретением навыков выявления теорем ученик не только повторяет их содержание, но и получает бесценный опыт анализа чертежа, который пригодится ему для размышлений над полноценными задачами. Мнение о репетиторе по математике складывается в пользу пореподавателя тогда, когда приходит результат. Был случай, когда уже после трех занятий по методике распознания пришедший ко мне троешник принес из школы пятерку.

Решать сложные задачи непросто. Мало увидеть теоремы, надо еще уметь ими пользоваться и выстраивать им определенный порядок. Я много думал о том, как этому научить. Пытался влезть в шкуру ученика, пожить с его проблемами и пришел к выводу о необходимости пошаговой подготовки. По началу – отдельная практика. Репетитору математики не стоит перемешивать, например, вычислительную работу с логической или вариативной. Чтобы научиться управлять какими-то процессами, не только в математике, в первую очередь нужно знать из каких этапов и операций они состоят. Чтобы задачи «пошли» репетитор должен показать ученику, из какого теста выпекаются к ним алгоритмы. Поэтому данная методика мне представляется чрезвычайно полезной и эффективной. Предлагаю ее на заметку всем преподавателям!

Москва, Репетитор по математике А.Н. Колпаков