Репетитор по математике о базе задач с параметрами

В копилке учебных материалов любого серьезного репетитора по математике всегда имеется множество отсортированных подборок задач. Как по темам и классам, так и по уровню сложности содержащихся в них номеров. Если Ваш репетитор по математике не равнодушен к тому, что и как будет решать он сам и его ученик, то задания тщательно отбираются и храняться в виде готовых комплектов или закладок на страницы адекватных (с точки зрения репетитора) печатных изданий (классических сборников задач для поступающих в ВУЗы или современных изданий для подготовки к ЕГЭ / ГИА).

Один из видов задач повышенного уровня сложности — задачи с параметрами, без которых не обходится ни одна серьезная подготовка к ЕГЭ по математике. Их сортировка, хранение и подбор для конкретного урока — весьма трудоемкий процесс. Почему? Во-первых, репетитор по математике тратит немало времени на решение номеров, рассматриваемых для подготовки комплекта. Во-вторых, задачи с парметрами проникают буквально во все темы школьного курса алгебры, начиная с 7 класса и заканчивая 11 классом.

Я провел в свое время огромную работу по отбору и сортировке наиболее интересных и полезных с учебной точки зрения задач с паметрами и уже более 10 лет применяю накопленный материал на своих занятиях. Имеется богатая база номеров на логические, аналитические и графические методы решений. Она постоянно дополняется и совершенствуется. Для подготовки к ЕГЭ по математике ведется учет всех задач С5, которые предлагались в реальных и типовых — демонстрационных вариантах.

Из года в год качество комплпектов упражнений подтверждается результатами сдачи ЕГЭ моими учениками и набранными баллами на внутренних вступительных и экзаменах в сильные ВУЗы (существовавших до ЕГЭ), на переводных олимпиадных испытаниях в сильные математические классы и школы, при подготовке в МГУ.

Один из такихкомплектов опубликован ниже.

Использование свойств графика квадратного трехчлена.

1) При каких значениях параметра m один из корней квадратного уравнения mx^2+x+1=0 больше 2, а другой меньше 2?

2) При каких b любой корень уравнения (2-b)x^2-3bx+2b=0 не меньше чем \frac{1}{2}

3) При каких значениях p уравнение x^2-6px+2 -2p+9p^2=0 имеет два корня, больших чем 3?

4) При каких значениях параметра t корни уравнения x^2+2tx+t^2-1=0 заключены между числами -2 и 4?

5) При каких значениях b уравнение x^2+(b+4)x+2b+6 =0 имеет ровно 1 корень на луче x \in [1;+\infty)

Ответы репетитора по математике
1) m \in \left ( -\frac{3}{4};0 \right )
2) b \in \left ( -\frac{16}{17};2 \right )
3) p \in \left ( -\frac{11}{9}; +\infty \right )
4) t \in (-3;1)
5) b \in (-\infty;-3] \cup {\sqrt{2}}

Домашнее задание:

6) Найдите все значения параметра а, при которых любой корень уравнения (a-1)x^2-2ax+a=0 расположен на промежутке (-2;3]?
7) При каких параметрах а уравнение (4-a)x^2+2(a-3)x-a=0 имеет два различных корня, удовлетворяющих неравенству x>1?
8) Найти все значения b, при которых уравнение 4x^2-2bx+b=0 имеет 2 различных корня, каждый из которых принадлежит интервалу (-1;1).
9) При каких p квадратный трехчлен (1-p)x^2+(p+2)x+1=0 имеет ровно 1 корень на промежутке [0;2)?

Ответы на домашние задачи:
6) a \in [0;\frac{4}{9}) \cup {1} \cup [\frac{9}{4};+\infty)
7) a \in (4;4,5)
8) a \in (-\frac{4}{3};0)
9) p \in {-8} \cup (4,5;+\infty)

Любимая задача репетитора по математике на параметр:
при каких значениях а уравнение x^3+6x^2-15x+a=0 имеет три различных действительных корня?
Ответ: a \in (-100;8)

А.Н. Колпаков — репетитор по математике. Москва. Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий