Репетитор по математике о работе с квадратными уравнениями

Тема «решение квадратных уравнений» достаточно грамотно и аккуратно изложена во всех школьных учебниках для 8 класса и поэтому практически не подлежит коррекции со стороны репетитора по математике. Однако не могу не пробежаться по основным ее этапам, ибо даже в таком простом материале возможны методические ошибки и просчеты преподавателя. Поговорим о работе с формулой дискриминанта и о приеме подведения ученика к пониманию доказательства формулы .

Я не претендую на какую-либо новизну в порядке изложения. Он общеизвестен, но, как показывает практика, далеко не каждый репетитор по математике его выдерживает. Кроме того есть определенные законы и приемы в технике выделения полного квадрата, которые нужно правильно использовать.

Опросы учеников показывают, что репетитор по математике точнее раскрывает тему, чем школа. Почему? В классе работа преподавателя, как правило, направлена на практическое использование формул дискриминанта, с расчетом их научить применять. Доказательства для восьмиклассника достаточно длинное и сложное, а методичное введение и обоснование дискриминанта не является жизненно необходимым для практики. В итоге те ученики, которые при определенной работе преподавателя могли бы понять тему полностью, оказываются в том же положении, что и отстающие.

Репетитор по математике, безусловно, имеет большую свободу действий и возможность дифференцировать подачу материала для того или иного уровня ученика.

А как обстоят дела в школе? Обычно формула сообщается классу в административно–командном порядке, без каких-либо доказательств, а ученики, как попугайчики, повторяют «преподавателю математики бэ квадрат минус четыре а цэ» .

Или наоборот, в классе с углубленным изучением предмета формула дискриминанта до того, как будет рассмотрены примеры уравнений. Считается, что если дети попали в математический класс, то никакая специальная подготовка им не нужна и можно работать с переменными коэффициентами с самого начала. Это ошибочное мнение.

Каким образом квадратные уравнения может рассказать среднему ученику репетитор по математике? Какие приемы я обычно использую в работе?

Сразу скажу, что в некоторых случаях репетитору математики следует поступить точно так же, как поступают школьные учителя, а именно просто сообщить формулу дискриминанта без объяснений. Когда это делается? Или в случае нехватки времени или при работе с очень слабым учеником. Такие ситуации не очень интересны и их не буду рассматривать. Поговорим о другом подходе.

С чего репетитор по математике начинает урок по квадратным уравнениям?

Не стоит сразу же выводить формулы дискриминанта. Нужно усвоить метод выделения полного квадрата. Грамотный репетитор по математике введет дискриминант так, что ребенок даже не поймет, что ему объясняется новый материал. Для этого нужно выстроить правильный порядок в цепочке предлагаемых уравнений. Например:

1) и

2) и

3) и

4) и

5) и

В левые части равенств репетитор по математике вставляет готовые полные квадраты. В зависимости от необходимости отработать алгоритм поиска икса с разными скобками, нужно перебрать все варианты их коэффициентов (целые, дробные, иррациональные). Дополнительно можно варьировать расположение слагаемых в левой и правых частях равенства.

Следующий этап работы репетитора математики— выделение полного квадрата из левой части. Я бы поставил в нее те многочлены, которые сворачиваются в уже рассмотренные полные квадраты левых частей предыдущих уравнений. Во-первых, не нужно каждое уравнение решать до конца (экономиться время урока), а во-вторых, репетитор по математике концентрирует внимание ребенка на самом алгоритме.

Перед выводом формулы дискриминанта для произвольных коэффициентов нужно провести соответствующие выкладки на числах. Репетитору математики опять лучше бы подать ученику уравнение с полным квадратом, например , а затем попросить составить из него еще несколько таких, в которых левая часть уже не сворачивается в Можно перенести 4 в левую часть, а можно, например, добавить к обеим частям что-нибудь. Такая «наводка» репетитора по математике позволяет ученику самостоятельно догадаться до общего способа решения полных квадратных уравнений.

Задается вопрос: как выделить в левой части полный квадрат?

Некоторые репетиторы математики и школьные учителя добавляют 4 к обеим частям уравнения. Я делаю иначе: напоминаю ученику, формулу для работы с которой необходимо подобрать a и b, а для этого нужно выделить из 6x коэффициент 2. В роли a всегда выступает x, а второй множитель, образующийся от выделения двойки, должен присутствовать еще и виде квадрата сразу после удвоенного произведения. Если он нужен — не проблема поставить его туда и тут же отнять. Далее репетитор по математике показывает полную запись:
. Я всегда выделяю в рамку три первые слагаемых, чтобы ученик смог быстрее распознать знакомый объект. В итоге репетитор математики записывает:

Как репетитор по математике работает с коэффициентами?

Сначала я отрабатываю выделение полного квадрата на четном коэффициенте перед иксом, затем на нечетом и только после этого на дробном. Решается как минимум три соответствующих уравнения. Репетитор по математике обязан сформулировать у ученика четкий порядок выделения коэффициента 2 в удвоенном произведении: принудительно пишем 2, затем «открываем» новую дробь и вставляем 2 в ее знаменатель (чтобы число 2 сокращалось). Только после этого прежний коэффициент «относим» в числитель и знаменатель этой дроби.

Сформированная дробь ( в нашем случае добавляется в виде квадрата и тут же вычитается. Первые три слагаемых репетитор по математике обводит облачком (так чтобы выделилась формула полного квадрата) и меняет на полный квадрат

Далее репетитор показывает квадратное уравнением, в котором старший коэффициент a не равен единице.

В этом случае лучше разделить на a него обе части (а не выносить за скобку). Репетитору по математике следует поставить старший коэффициент в знаменатель к среднему и свободному. Сокращать дроби не стоит. И далее во всех дальнейших выкладках воздерживаться от каких-либо вычислений. Зачем? Очень просто. Таким методом репетитор по математике готовит ученика к восприятию вывода формулы в буквенном виде. Он будет представлять собой ни что иное, как повторение числового. Если последнее усвоено, то ученика есть все шансы догадаться до самостоятельно.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике для 8 класса