Репетитор по математике о работе с темой «подобие»

В изложении курса планиметрии есть несколько крупных тем, знание которых в первую очередь проверяются на экзаменах по математике. Одна из них – подобие треугольников. От того, насколько ответственно и внимательно репетитор по математике отнесется к ее рассмотрению, будет зависеть не только текущая оценка по школе, но и конечный итог всей подготовки к ЕГЭ / ГИА. Подобие, площадь и окружность – любимый материал математиков МИОО и ФИПИ. Эти же темы широко представлены на экзамене в МГУ, на различных олимпиадах и в вступительных испытаниях в математические классы. Репетитору необходимо учесть это обстоятельство при выработке стратегии занятий (особенно в условиях дефицита времени). В этой статье я изложу основные проблемы, которые могут возникнуть у репетитора по математике при рабюоте с подобием и дам несколько советов по методам формирования у ребенка устойчивого понимания данной темы.

Писать о методиках изучения конкретных разделов математики с учетом специфики репетиторской работы довольно сложно, ибо существует множество параметров и факторов, влияющих на характер и технику преподавания. Это способности и заинтересованность ученика, его уровень и его пробелы, временные условия занятий с репетитором и поставленные перед ним конечные цели. Кроме этого разные учебники геометрии предлагают разный порядок введения понятий. Это, кстати, характерно вообще для всей математики. Репетитору особенно важно не перепутать программы и выдержать методику какого-то одного изложения. Умение одновременно работать с разными учебниками — отличительная особенность профессионального репетитора.

Подобием треугольников репетитор по математике плотно занимается в середине 8 классе (по Атанасяну) и в начале 9 класса (по Погорелову). Следует иметь ввиду, что различное расположение темы в этих программах накладывает отпечаток на содержание задач. В случае Атанасяна перед репетитором по математике открываются широкие дидактические возможности, обусловленные ранним изучением еще одного крупного раздела планиметрии — «площадь». Соседство с «окружностью» еще больше раздвигает границы доступных задач. Поэтому при подготовке к ЕГЭ по математике удается вывести ученика на вполне приличный конкурсный уровень.

С Погореловым же дела обстоят несколько хуже. Загруженность курса разделами «координаты» и «преобразования плоскости», предшествующие подобию, не позволяют репетитору по математике включать в палны урока достаточное количество классики — интересных и содержательных задач. Из-за того, что времени до экзамена в 9 классе остается немного, профильная подготовка к ГИА по математике в части планиметрии заметно усложняется.

На какие «грабли» может наступить репетитор по математике?

В первую очередь это грабли, связанные с параллельной работой двух преподавателей: личного репетитора и школьного учителя. Нужно помнить о том, что возможны расхождения в требованиях к оформлению и использованию терминов. Например, понятие соответствующие стороны (в Погорелове) и сходственные стороны (в Атанасяне) — одно и то же понятие. Но это известно только опытному математику. Ребенку нужно об этом не забыть сказать. Некоторые репетиторы по математике и даже школьные преподаватели вводят номера для признаков подобия. Это удобно для ссылок в оформлении задач, но надо помнить, что не существует стандартов нумерации.

Какую подготовку к изучению подобия проводит репетитор по математике?

Какую подготовку к изучению подобия проводит репетитор по математике

Подготовительная работа репетитора начинается еще в 7 классе, когда дети проходят «равенство треугольников». Единый принцип обозначения сравниваемых треугольников может стать хорошим помощником в практической работе с подобием. Как известно, обозначение равных и подобных фигур ведется в порядке следования соответствующих элементов. Разница только в том, что у равных треугольников эти элементы равны, а у подобных или равны (углы) или пропорциональны (стороны). Умение правильно обозначать равные тругольники помогает ребенку правильно записывать и их подобие. Если репетитор по математике приучает его к строгим форматам уже в 7 классе, то в 8 классе не придется мучиться с соблюдением правил записи и поэтому удастся ускорить получение пропорций между сторонами.

В 7 классе, конечно же, можно распознать соответствующую пару элементов и без всякого обозначения (в большинстве случаев). Так как следствием равенства треугольников является простейшее равенство двух их элементов, репетиторы по математике не всегда следят за порядком следоваения вершин. С подобием дела обстоят иначе, ибо стороны участвуют в пропорциях, для составления которых нужно правильно выбрать и разбросать по читслителям и знаменателям сразу 4 элемента (четые стороны). Для развития этого умения репетитор по математике использует расположение букв.Как репетитор по математике использует расположение букв Я обычно подрисовываю дуги над соответствующими вершинами, которые нужно делить друг на друга. Важно, чтобы ребенок уяснил то, что числители дробей берутся из одного треугольника, а знаменатели из другого. То есть, если первую пару элементов разделили «слева направо», то и другую нужно разделить «слева направо».

Но, опять же, многое зависит от целей занятий и способностей школьника. Если репетитором по математике пересматриваются только классические легкие номера с ясным расположением соответствующих элементов, вероятность путаницы в пропорциях оказывается минимальной. В этом случае, возможно, репетитору не стоит «нырять» в формальную математику и больше внимания уделить усвоению свойств подобия.

В работе с сильным учеником (до введения подобия) репетитор по математике доказывает основную теорему о соотношении площадей треугольников с равной парой углов. Она в свою очередь использует важное свойства разделительного отрезка в треугольнике. Свойство разделительного отрезка Оно показано на рисунке, который Вы видите справа. Я советую репетиторам по математкие рассматривать его как отдельную теорему. По двум причинам:
1) Упрощается доказательство теоремы о соотношении площадей
2) Свойство часто используется в сложных задачах.

Тренировка умения работать с пропорциями.
При работе с сильно отстающим учеником и удачном графике занятий (когда репетитора по математике не ограничен жесткими временными рамками) желательно провести отдельную работу по выработке умения находить в пропорции неизвестный элемент, если она уже составлена. Репетитор должен пересмотреть различные комбинации форм записи крайних и средних ее членов (они могут быть представлены десятичными или обыкновенными дробями), различные расположения икса в дробях у пропорции, а также случаи с единственной обыкновенной дробью в одной из частей равенства. В последнем случае дети пытаются выйти из положения подбором арифметического действия с двумя другими числами, вспоминая правила начальной школы. Это очень неудачный с практической точки зрения подход, ибо слабый ученик, обычно имеет серьезные проблемы с запоминанием, а математических навыков и вовсе нет. В то же время репетитору по математике не удается подвести решение любых прорций под единое правило перекресного умножения: для поиска неизвестного члена нужно перемножить числа, которые стоят напротив друг друг друга «на искосок», а на последнее число поделить. Именно в такой формулировке, ибо слабый ученику тяжело ориентироваться в терминах «крайние и средние члены». На рисунке, который Вы видите слева, изображена графическая подсказка репетитора по математике Графическая подсказка репетитора по математике для самых слабых учеников. Независимо от расположения икса можно выделить стрелками линию с известными числами. По этой линии числа умножаются, а на третье число (в нашем примере это число 2) ученик делит. Репетитору важно предупредить ученика о возможном сокращении полученной дроби (в нашем случае \dfrac{3 \cdot 6,4}{2} ). Ее надо сначало составить, а не бросаться выполнять умножение.

Разбор с репетитором типовых задач на подобие

Важно разобрать с учеником примеры самых распространенных комбинаций геометрических объектов, в которые прелагаются в задачах, и в которых возникает подобие. Их не так много (если не касаться каких-то сложных ситуаций).

1. Отрезок, параллельный стороне треугольника.
Отрезок, параллельный стороне треугольника

2. Подобие в трапеции.
Подобие в трапеции

1. Высоты в треугольнике — ортоцентр
Высоты в треугольнике на схеме репетитора

2. Подобие в прямоугольном треугольнике
Подобие в прямоугольном треугольнике

На каждую ситуацию (их желательно рассмотреть на одном уроке) нужно предложить, как минимум, по одной задаче для совместного решения с репетитором, по одной для самостоятельной работы в присутствии репетитора и одну задать на дом. На следующем этапе (уроке) — репетитор по математике усложняет условия задач, в которых возникают те же самые ситуации. Например, можно вписать квадрат в треугольник с известным основанием и высотой и попросить найти его сторону.

Важно не забыть разобрать свойство отношения площадей подобных фигур. Для выработки умения обращаться с площадями я советую использую задачи такого типа: на стороне PK треугольника LPK отмечена точка Q и через эту точку проведены параллельные прямые QS и QT к сторонам PL и KL соответственно. Надите площадь параллелограмма QTLS если S_{PTQ}=4 и S_{KSQ}=9 .

С уважением, Александр Николаевич.

Методики репетитора по математике — Москва. Строгино.

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Марина марта 1, 2016 в 0:00

Многих учеников научили именно так вычислять пропорцию. Два числа умножить и на третье разделить. Но проблема возникает, например, в случае уравнения (x+2)/(x+1)=2/3. Тогда репетитору по математике задают вопрос: «Что делать, если тут два икса?» Вы, конечно, можете возмутиться, что надо привезти к общему знаменателю и т.д., но это решение для сильных учеников, для совсем слабых это проблема.

Колпаков А.Н. марта 1, 2016 в 7:58

Нет, ничего приводить к общему знаменателю не нужно. В случае появления двух иксов нужно составить перекрестное равенство через основное свойство пропорции.

Оставьте комментарий