Репетитор по математике о работе с темой «подобие»

В изложении курса планиметрии есть несколько крупных тем, знание которых в первую очередь проверяются на экзаменах по математике. Одна из них – подобие треугольников. От того, насколько ответственно и внимательно репетитор по математике отнесется к ее рассмотрению, будет зависеть не только текущая оценка по школе, но и конечный итог всей подготовки к ЕГЭ / ГИА. Подобие, площадь и окружность – любимый материал математиков МИОО и ФИПИ. Эти же темы широко представлены на экзамене в МГУ, на различных олимпиадах и в вступительных испытаниях в математические классы. Репетитору необходимо учесть это обстоятельство при выработке стратегии занятий (особенно в условиях дефицита времени). В этой статье я изложу основные проблемы, которые могут возникнуть у репетитора по математике при рабюоте с подобием и дам несколько советов по методам формирования у ребенка устойчивого понимания данной темы.

Писать о методиках изучения конкретных разделов математики с учетом специфики репетиторской работы довольно сложно, ибо существует множество параметров и факторов, влияющих на характер и технику преподавания. Это способности и заинтересованность ученика, его уровень и его пробелы, временные условия занятий с репетитором и поставленные перед ним конечные цели. Кроме этого разные учебники геометрии предлагают разный порядок введения понятий. Это, кстати, характерно вообще для всей математики. Репетитору особенно важно не перепутать программы и выдержать методику какого-то одного изложения. Умение одновременно работать с разными учебниками — отличительная особенность профессионального репетитора.

Подобием треугольников репетитор по математике плотно занимается в середине 8 классе (по Атанасяну) и в начале 9 класса (по Погорелову). Следует иметь ввиду, что различное расположение темы в этих программах накладывает отпечаток на содержание задач. В случае Атанасяна перед репетитором по математике открываются широкие дидактические возможности, обусловленные ранним изучением еще одного крупного раздела планиметрии — «площадь». Соседство с «окружностью» еще больше раздвигает границы доступных задач. Поэтому при подготовке к ЕГЭ по математике удается вывести ученика на вполне приличный конкурсный уровень.

С Погореловым же дела обстоят несколько хуже. Загруженность курса разделами «координаты» и «преобразования плоскости», предшествующие подобию, не позволяют репетитору по математике включать в палны урока достаточное количество классики — интересных и содержательных задач. Из-за того, что времени до экзамена в 9 классе остается немного, профильная подготовка к ГИА по математике в части планиметрии заметно усложняется.

На какие «грабли» может наступить репетитор по математике?

В первую очередь это грабли, связанные с параллельной работой двух преподавателей: личного репетитора и школьного учителя. Нужно помнить о том, что возможны расхождения в требованиях к оформлению и использованию терминов. Например, понятие соответствующие стороны (в Погорелове) и сходственные стороны (в Атанасяне) — одно и то же понятие. Но это известно только опытному математику. Ребенку нужно об этом не забыть сказать. Некоторые репетиторы по математике и даже школьные преподаватели вводят номера для признаков подобия. Это удобно для ссылок в оформлении задач, но надо помнить, что не существует стандартов нумерации.

Какую подготовку к изучению подобия проводит репетитор по математике?

Подготовительная работа репетитора начинается еще в 7 классе, когда дети проходят «равенство треугольников». Единый принцип обозначения сравниваемых треугольников может стать хорошим помощником в практической работе с подобием. Как известно, обозначение равных и подобных фигур ведется в порядке следования соответствующих элементов. Разница только в том, что у равных треугольников эти элементы равны, а у подобных или равны (углы) или пропорциональны (стороны). Умение правильно обозначать равные тругольники помогает ребенку правильно записывать и их подобие. Если репетитор по математике приучает его к строгим форматам уже в 7 классе, то в 8 классе не придется мучиться с соблюдением правил записи и поэтому удастся ускорить получение пропорций между сторонами.

В 7 классе, конечно же, можно распознать соответствующую пару элементов и без всякого обозначения (в большинстве случаев). Так как следствием равенства треугольников является простейшее равенство двух их элементов, репетиторы по математике не всегда следят за порядком следоваения вершин. С подобием дела обстоят иначе, ибо стороны участвуют в пропорциях, для составления которых нужно правильно выбрать и разбросать по читслителям и знаменателям сразу 4 элемента (четые стороны). Для развития этого умения репетитор по математике использует расположение букв. Я обычно подрисовываю дуги над соответствующими вершинами, которые нужно делить друг на друга. Важно, чтобы ребенок уяснил то, что числители дробей берутся из одного треугольника, а знаменатели из другого. То есть, если первую пару элементов разделили «слева направо», то и другую нужно разделить «слева направо».

Но, опять же, многое зависит от целей занятий и способностей школьника. Если репетитором по математике пересматриваются только классические легкие номера с ясным расположением соответствующих элементов, вероятность путаницы в пропорциях оказывается минимальной. В этом случае, возможно, репетитору не стоит «нырять» в формальную математику и больше внимания уделить усвоению свойств подобия.

В работе с сильным учеником (до введения подобия) репетитор по математике доказывает основную теорему о соотношении площадей треугольников с равной парой углов. Она в свою очередь использует важное свойства разделительного отрезка в треугольнике. Оно показано на рисунке, который Вы видите справа. Я советую репетиторам по математкие рассматривать его как отдельную теорему. По двум причинам:
1) Упрощается доказательство теоремы о соотношении площадей
2) Свойство часто используется в сложных задачах.

Тренировка умения работать с пропорциями.
При работе с сильно отстающим учеником и удачном графике занятий (когда репетитора по математике не ограничен жесткими временными рамками) желательно провести отдельную работу по выработке умения находить в пропорции неизвестный элемент, если она уже составлена. Репетитор должен пересмотреть различные комбинации форм записи крайних и средних ее членов (они могут быть представлены десятичными или обыкновенными дробями), различные расположения икса в дробях у пропорции, а также случаи с единственной обыкновенной дробью в одной из частей равенства. В последнем случае дети пытаются выйти из положения подбором арифметического действия с двумя другими числами, вспоминая правила начальной школы. Это очень неудачный с практической точки зрения подход, ибо слабый ученик, обычно имеет серьезные проблемы с запоминанием, а математических навыков и вовсе нет. В то же время репетитору по математике не удается подвести решение любых прорций под единое правило перекресного умножения: для поиска неизвестного члена нужно перемножить числа, которые стоят напротив друг друг друга «на искосок», а на последнее число поделить. Именно в такой формулировке, ибо слабый ученику тяжело ориентироваться в терминах «крайние и средние члены». На рисунке, который Вы видите слева, изображена графическая подсказка репетитора по математике для самых слабых учеников. Независимо от расположения икса можно выделить стрелками линию с известными числами. По этой линии числа умножаются, а на третье число (в нашем примере это число 2) ученик делит. Репетитору важно предупредить ученика о возможном сокращении полученной дроби (в нашем случае ). Ее надо сначало составить, а не бросаться выполнять умножение.

Разбор с репетитором типовых задач на подобие

Важно разобрать с учеником примеры самых распространенных комбинаций геометрических объектов, в которые прелагаются в задачах, и в которых возникает подобие. Их не так много (если не касаться каких-то сложных ситуаций).

1. Отрезок, параллельный стороне треугольника.

2. Подобие в трапеции.

1. Высоты в треугольнике — ортоцентр

2. Подобие в прямоугольном треугольнике

На каждую ситуацию (их желательно рассмотреть на одном уроке) нужно предложить, как минимум, по одной задаче для совместного решения с репетитором, по одной для самостоятельной работы в присутствии репетитора и одну задать на дом. На следующем этапе (уроке) — репетитор по математике усложняет условия задач, в которых возникают те же самые ситуации. Например, можно вписать квадрат в треугольник с известным основанием и высотой и попросить найти его сторону.

Важно не забыть разобрать свойство отношения площадей подобных фигур. Для выработки умения обращаться с площадями я советую использую задачи такого типа: на стороне PK треугольника LPK отмечена точка Q и через эту точку проведены параллельные прямые QS и QT к сторонам PL и KL соответственно. Надите площадь параллелограмма QTLS если и .

С уважением, Александр Николаевич.

Методики репетитора по математике — Москва. Строгино.