Репетитор по математике об использовании уравнения Sin2x=0

Преподавание математики в старших классах имеет свои законы, проблемы и особенности, связанные с совершенствованием техники объяснений. В каждом разделе школьного учебника репетитор по математике встречает какие-нибудь трудные темы или алгоритмы, вырабатывая со временем собственные правила подачи их слабому ученику. Я знакомлю репетиторов и родителей с некоторыми из них в том объеме, в котором это позволяет сделать форматы страниц сайта. Поговорим о применении формул корней простейших тригонометрических уравнений. Не буду касаться всей системы моей работы с данной темой, а затрону лишь частный вопрос, относящийся к пониманию техники преобразования формул. Как репетитору по математике объяснить работу алгоритма поиска решений для уравнений типа Sin \left (\dfrac{\pi}{6}-2x \right )=1 ;  Cos \left (\dfrac{x}{4} - \dfrac{\pi}{3} \right )=-1 ;   tg \left (\dfrac{\pi}{6}-2x \right )=0
и аналогичных конструкций (относящихся к простейшим)? С какими трудностями обычно сталкивается репетитор по математике в работе правилами преобразования корней и какие комментарии нужны среднестатистическому слабому ученику? Как «добраться до икса», если он «утоплен» в скобку?

Как правило, действия репетитора по математике, не столь точно понимающего суть проблем большинства школьников, сводятся к стандартной демонстрации метода получения ответа. Репетитор берет какое-нибудь уравнение из указанного выше списка и просто его решает. Текст учебника транслируется ученику с той лишь разницей, что моменты переходов от одной строчки к другой сопровождаются фразами «выпишем угол», «запишем формулу», «найдем арккосинус», «перенесем слагаемое в правую часть», « поделим обе части на … ». Понял – отлично, не понял — повторяет еще раз. Ученики, приходящие ко мне после номинальных репетиторов – трансляторов, жаловались на отсутствие внятных объяснений к преобразованиям, на шаблонные комментарии, «сухие» и «мутные». Ничего не оставалось, как просто запоминать видеоряд и учить сопроводительный текст как стихи. Иначе никак.

Какую ошибку часто допускают репетиторы по математике при работе с формулами корней?

Она связана с отсутствием понимания (или недооценкой) разницы, которая существует между тригонометрическими и алгебраическими уравнениями, изучаемыми в 5 — 9 классах. Школьники впервые в своей практике сталкиваются с необходимостью указывать в ответе бесконечное количество корней, а также впервые решают бесконечное количество уравнений, зависящих от параметра n \in Z. Более-менее грамотные математики имеют, как правило, сформированные навыки работы с ним и представляют себе переменную n  — как число, а поэтому и работают с ней как с числом. Но у ученика это представление, часто всего, отсутствует и его надо формировать. Если эта работа не проводится — возникают проблемы.

Какой-то опыт работы о бесконечным множеством решений репетитор по математике передает своему подопечному в 7 классе на примере уравнения прямой ax+by=c. Но, к сожалению, далеко не всегда репетитор начинает работу с учеником с этого возраста. Обычно родители обращаются за помощью ближе к выпускным экзаменам. Да и разница в математических объектах довольно существенная: ответ — рисунок (график линейной функции) против «сухой» формулы корней с какими-то «эн» и «пи». Что же делать?

В сложных случаях я придерживаюсь следующей методики. Будем предполагать, что ученик усвоил метод получения ответа в самых ростейших уравнениях вида Sinx=a, Cosx=a, tgx=a,ctgx=a, составляющих теоретическую часть урока. Далее репетитору по математике приходится учить применять стандартные формулы (или их частные случаи) для решения большого класса уравнений с коэффициентами и слагаемыми под знаком этих функций. Как это лучше сделать? Не советую репетиторам использовать с самого начала сложные сочетания действий в скобках под знаком синуса и косинуса. Нужно взять самый простой вариант, а именно уравнение Sin 2x =0 . Даже не Cos2x=0, а именно синус, так как серия углов ]pi n проще чем \dfrac{\pi}{2} + \pi n

Главная задача репетитора по математике сводится объяснению механизма, позволяющего снимать знаки тригонометрических функций в любых ситуациях и добираться до икса. Для этого достаточно рассмотреть один единственный пример на сложный угол, так как все операции по выделению икса в остальных случаях имеют одну и ту же логику. Для слабого школьника угол 2х – уже сложный угол.

Как репетитор по математике использует уравнение Sin2x=0?

Редко при работе со слабым учеником я начинаю пояснения с общих форм. Сначала объясняю метод поиска каждого корня в отдельности, а уже затем, подмечая с учеником его особенности, открываю перед ним общий (стандартный) алгоритм, знакомый всем репетиторам. Обсуждаются особенности оформления, а навык работы с алгоритмом закрепляется на достаточном количестве уравнений.

Первый шаг репетитора

Поиск одного угла для ответа. Ученику напоминается формула x=\pi n для Sinx=0. Допустим, что она усвоена. Можно выписать само уравнение в правой части тетради (поделив лист пополам) и там же указать несколько примеров корней (можно разместить рисунок тригонометрического круга). Уравнение Sin2x желательно вписать в левую колонку. Как репетитор по математике затеняет угол 2x Репетитор по математике слегка затеняет угол 2х карандашом (для подчеркивания сходства уравнения с постейшим) так, чтобы выражение 2х было заметно и произносит: «Попробуем подобрать какой-нибудь корень уравнения Sin 2x =0 . Как можно определить является ли таковым наугад взятое число? Нужно подставить его вместо икса, умножить на 2, а затем вычислить найти синус.

Представим себе эту проверку. После умножения на 2 появляется некий результат, который можно вписать вместо закрашенного пятнышка. После того, как он там проявился, мы увидим точно такую же запись, как при его вставке вместо икса в уравнение правой колонки. Ноль получится только тогда, когда это вставленное число совпадет с одним из выписанных углов. Возьмем, например, угол \pi . Как его можно получить умножением? То есть, на что умножить число 2 чтобы получилось \pi ? (напоминаю, что у репетитора по математике сидит слабый ученик!!!!!) Школьник просто обязан указать репетитору по математике на угол \dfrac{\pi}{2} (дальше уже никак не разжуешь :)))))!!!!). Теперь самое важное: репетитор по математике обращает его внимание на то, что угол \dfrac{\pi}{2} – корень для 2x=\pi и записывает это уравнение в левую колонку напротив n=1 . Важно дописать единичку множителем к pi . В итоге запись превращается в 2x=\pi \cdot  1 . Cохраняя эту единичку для записи ответа, репетитор получает строчку x=\dfrac{\pi \cdot 1}{2} (так, и только так!!!)

Второй шаг репетитора — получение нескольких корней

Если мы возьмем другой «результат» из правой колонки, например 2  \pi и cоставим аналогичное уравнение 2x = \pi  \cdot 2 , то создадим еще один корень начального, а именно x=\dfrac{\pi \cdot 2}{2}  (только ни в коем случае нельзя сокращать двойки, пусть стоят!!!!). Нули синуса, необходимые репетитору для пояснений, лучше выписать в колонку справа (указывая рядом с каждым углом его порядковый номер n=...1;2;3;4;...), а слева расположить соответствующее уравнение для поиска корня \dfrac{\pi}{2} . На приведенной ниже картинке показано, как репетитор по математике оформляет записи.
Как репетитор по математике оформляет записи

Тритий шаг — получение ответа и оформление решения

Советую продолжить выписывать строчки до того момента, пока ученик не сообразит, как «создаются» углы вида \dfrac{\pi n}{2}  . На 6-7 строке даже самый тупой школьник, как правило, догадывается до нужного обобщения и вставляет вместо порядкового номера строки букву n . В крайнем случае, это обобщение делает сам репетитор по математике. Легко понять, что множество корней бесконечно, ибо множество углов в правой колонке бесконечно. Для каждого из них есть свой корень в левой колонке.

После получения ответа \dfrac{\pi \cdot n}{2} нужно сказать ученику: «Давай заменим все порядковые номера во всех строчках буквой n . Тогда в каждой строке получится ответ исходного уравнения. Зачем нам столько одинаковых записей? Возьмем одну из них. Она будет служить оформлением решения". Репетитор показывает его:

Sin2x=0

2x=\pi \cdot n

x = \dfrac{\pi \cdot n }{2}, где n \in Z

Схема - памятка репетитора для Sin2x=0Записи также можно овормить в виде опорной схемы — памятки. Она показана на рисунке слева. Углы вида \pi \cdot n как будто стремяться закрыть собой пятно. Иногда помогает ученику запомнить ход рассуждений.

Послесловие репетитора по математике: Усвоив принцип работы с углом 2х, ученик сможет применить аналогичный подход и способ оформления к другим уравнениям вида Sin (ax+b)=0 , ибо ax+b недалеко «ушло» от 2x. Если до конца туман не рассеялся, репетитор по математике может повторить рассуждения (с тем же оформлением) для еще одного примера с синусом, скажем Sin \left ( 2x+ \dfrac{\pi}{6} \right ) =0 .

Легко сравнить записи – разница только замене 2x на 2x+ \dfrac{\pi}{6}. Конечно, «левые» уравнения получают более длинные решения из-за дополнительного переноса слагаемого, но такой навык, как правило к 10 классу формируется даже у самый безнадежных двоечников. Если ученик имеет решать линейные уравнения за 6 — 7 класс репетитору по математике останется закрепить навык преобразования формулы на большом количестве уравнений.

Далее можно приступать к рассмотрению других видов уравнений (не только с синусами) «погружая» в аналогичные линейные выражения:

m \cdot Sin(ax+b)+n=0

m \cdot  Cos(ax+b)+n=0

m \cdot tg(ax+b)+n=0

m \cdot ctg(ax+b)+n=0

Когда позволяет время (до работы с углами) я повторяю алгоритм решения «линеек», комбинируя разные сочетания слагаемых и коэффициентов перед иксом. Обязательно даю дроби, например \dfrac{x}{3} + \dfrac{2}{6}=5. Тогда ученику легче воспроизвести решение уравнения

Sin \left ( \dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{6} \right ) = 0

Репетитор по математике, Колпаков А.Н. Москва. Строгино

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

evgen июня 16, 2015 в 20:40

Большое спасибо! Доходчиво! Все сразу вспоминается.

Оставьте комментарий