Репетитор по математике объясняет задачу С2 с ЕГЭ 2012

Условие задачи С2 на ЕГЭ по математике 2012Покажу решение номера С2 (стереометрия) одного из вариантов недавно прошедшего ЕГЭ (2012г). Остальные задачи (по крайней мере по Москве) будут отличаться от разобранной только числами.

Условие С2 с ЕГЭ 2012 :
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AB=BC=1 и CC_1=4. На ребре AA_1 отмечена точка E так, что A_1E=1. Найдите угол между плоскостями ABC и BED_1.

Первое решение репетитора по математике:

Как репетитор по математике строит линейный угол. Этап 1Типичной ошибкой является суждение о том, что \angle DBD_1 — линейный угол двугранного угла между плоскостями, ибо плоскость DBD_1 не перпендикулярна к линии их пересечения. Эту линию еще надо построить. Займемся этим. Продлим прямую D_1E до пересечения с основанием ABCD в точке P. Очевидно, что P — лежит в плоскости BED_1. Становится понятно, что BED_1 пересекает основание по прямой PB (это показано на рисунке 2).Как репетитор по математике строит линию пересечения плоскостей На этом же рисунке PB \cup DC= M . Треугольник PDB нам понадобится для дальнейших вычислений.

Теперь легко построить линейный угол двугранного угла D_1PBD, отвечающий за меру угла между нашими плоскостями.Окончательный рисунок репетитора. Линейный угол























Для этого из точки D проведем перпендикуляр DK к прямой PB и соединим точку K с точкой D_1. Искомый угол DKD_1 построен. Осталось его вычислить.

Найдем длину гипотенузы треугольника PDM по теореме Пифагора:

PM=\sqrt{PD^2+DM^2}=\sqrt{16+\frac{16}{9}}=\frac{4 \sqrt{10}}{3}

\triangle A_1ED_1 \sim \triangle AEP (по двум углам)

\implies \dfrac{PA}{A_1D_1}=\dfrac{EA}{EA_1} \implies  \dfrac{PA}{1}=\dfrac{3}{1} \implies PA=3

Аналогично \triangle PAB \sim \triangle PDM (по двум углам)

\implies \dfrac{PD}{PA}=\dfrac{DM}{AB} \implies \dfrac{4}{3}=\dfrac{DM}{1} \implies DM=\dfrac{4}{3}

Из формулы для площади треугольника PDM (полупроизведение основания на высоту) вытекает, что

\frac{1}{2} \cdot DK \cdot PM = \frac{1}{2} \cdot PD \cdot DM, откуда легко находится , что DK= \frac{4}{\sqrt{10}}

В треугольнике DBD_1 по известным катетам DK и D_1K найдем

tg \angle DBD_1=\dfrac{DD_1}{DK}=\dfrac{4}{\frac{4}{\sqrt{10}}}=\sqrt{10}

Следовательно \angle \left ( (ABCD);(EBD_1) \right )=arctg \sqrt{10}

Второе решение репетитора по математике (метод координат):

Репетитор по математике вводит систему координатВведем систему коорднинат так, как показано на рис 4.
В этой системе без труда определяются кооррдинаты точек наклонной плоскости:
E (0;1;3)
B (1;1;0)
D_1(0;0;4)
Найдем координаты следующих векторов \overrightarrow{BE}(-1;0;3) и \overrightarrow{BD_1}(-1;-1;4)
Пусть \overrightarrow{n}(n_1;n_2;n_3) — нормаль к плоскости EBD_1. Ее координаты должны починяться условиям перпендикулярности нормали к найукащанным векторам \overrightarrow{BE}(-1;0;3) и \overrightarrow{BD_1}(-1;-1;4) , так как эта нормаль перпендикулярна к найденным векторам\overrightarrow{BE}(-1;0;3) и \overrightarrow{BD_1}(-1;-1;4) , то можно составить два равенства, каждое из которых получено приравниванием скалярного произведения двух соответствующих пар векторов к нулю.
\begin{cases} -1 \cdot n_1 + 0 \cdot n_2 + 3 \cdot n_3=0 \\ 0 \cdot n_1 + 1 \cdot n_2 -1 \cdot n3=0\end{cases}

Мы получили условия, которым удовлетворяют все нормали к плоскости DBD_1. Однако, для дальнейшего поиска достаточно найти только одну из них. Поищем ту, у которой n_3=1, тогда:

\begin{cases} -1 \cdot n_1 + 0 \cdot n_2 + 3 \cdot 1=0 \\ 0 \cdot n_1 + 1 \cdot n_2 -1 \cdot 1 =0\end{cases}

откуда легко найти что n_1=3; n_2=1 и, в итоге, получим

\overrightarrow{n}(3;1;1) искомая нормаль.

Для второй плоскости нормаль, очевидно, является вектором, параллельным ребру BB_1, поэтому \overrightarrow{BB_1}(0;0;1) нормаль к АВСD.

Теоретическая справка репетитора по по математике: угол между плоскостями равен углу между нормалями или дополняет этот угол до 180^\circ. Косинусы этих углов или равны или отличаются знаками. Раз мы находим угол между стереометрическими объектами (а он по определению является острым), то

Cos \left ( (EBD_1); (ABCD) \right ) = |Cos( \overrightarrow{n}; \overrightarrow{BB_1}|= \dfrac{\overrightarrow{n} \cdot  \overrightarrow{BB_1}}{|\overrightarrow{n}| \cdot  |\overrightarrow {BB_1}|}=

=\dfrac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1}{\sqrt{3^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}

Тогда \angle \left ( (ABCD);(EBD_1) \right )=arccos \dfrac{1}{\sqrt{10}}

Замечание репетитора по математике: на превый взгляд решения имеют разные ответы. Но это не так, ибо полученный арктангенc равен полученному ранее арккосинусу. Для проверки данного факта достаточно обратиться к формуле

1 + tg^2x = \dfrac{1}{Cos^2x}

и найти, например, косинус искомого угла, зная его же тангенс.

На ЕГЭ можно решать с2 любым известным Вам способом и, конечно же, можно выбирать любую функцию для ответа. Лишь бы было правильно.

Колпаков Александр, репетитор по математике в Москве (Строгино).
Систематические индивидуальные занятия . Подготовка к ЕГЭ.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Ирина апреля 17, 2013 в 15:23

Уважаемій Александр! Попала на ваш сайт случайно , однако получила массу удовольствия и полезной информации. Я практикующий учитель и репетитор одновременно. Спасибо за материалы.

Оставьте комментарий