Репетитор по математике он-лайн: планиметрия

Вопрос от Юлии:
Подскажите, как можно решить задачу: В треугольнике MNP угол M равен 40 градусов, угол N равен 20 градусов, а MN-NP=8. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины угла P. Задача взята из вступительной работы по математике в 8 класс физико — математического лицея.

Решение репетитора по математике к задаче про биссектрису (Колпаков А.Н.):
Рисунок репетитора по математике к задаче про биссектрису

Пусть NP=x, MN=x+8. Очевидно, что \angle MPN=120^\circ. По теореме синусов имеем равенство:
\dfrac{x+8}{Sin120^\circ}=\dfrac{x}{Sin40^\circ} Применим формулу синуса тройного угла:
\dfrac{x+8}{3Sin40^\circ-4Sin^3 40^\circ}=\dfrac{x}{Sin40^\circ}. Сокращая на Sin40^\circ, после несложных преобразований получим, что x=\dfrac{4}{1-2Sin^2 40^\circ}=\dfrac{4}{Cos80}
В треугольнике KNP снова по теореме синусов запишем:

\dfrac{KP}{Sin20^\circ}=\dfrac{x}{Sin100^\circ} \implies KP=\dfrac{x \cdot Sin20^\circ}{Sin100^\circ}=\dfrac{\frac{4}{Cos80^\circ} \cdot Sin20^\circ}{Sin80^\circ}=

=\dfrac{4 \cdot Sin20^\circ}{Sin80^\circ \cdot Cos80^\circ}=\dfrac{4 \cdot Sin20^\circ}{0,5 \cdot Sin160^\circ}=\dfrac{4 \cdot Sin20^\circ}{0,5 \cdot Sin20^\circ}=8

Как и следовало ожидать, вся тригонометрия сокращается. Задача интересна тем, что имеет весьма красивое и простое решение (которое я показал) в противовес долгому и мучительному стандартному решению (через отрезок KN и теорему косинусов в треугольнике PKN).

Вопрос от Людмилы: Подскажите, как решить задачу: в равнобедренном треугольнике с углом альфа при основании высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного в треугольник круга на m. Основание треугольника равно? Спасибо.
Задача про высоту и радиус. Решение репетитора по математике.(Колпаков А.Н. )
Рисунок репетитора по математике к задаче о высоте и радиусе По техническим причинам вместо альфа будем использовать родной и любимый всеми математиками икс :). Пусть в треугольнике ABC угол \angle A =x  — угол при основании. Обозначим буквой N точку касания окружности с боковой стороной AB. Тогда \triangle ABD и \triangle OBN имеют два равных угла \angle ABD=\angle OBN и \angle ADB=\angle ONB = 90^\circ . Поэтому \angle BAD=BON=x. Так как высота больше радиуса на m, то BO=m. По определению косинуса острого угла BON в прямоугольном треугольнике BON имеем Cos \angle BON=\dfrac{NO}{m} \implies NO=mCosx
Тогда BD=m+mcosx=m(1+Cosx). По определению тангенса острого угла A в прямоугольном треугольнике ABD имеем tgA=\dfrac{BD}{AD} \implies tgx=\dfrac{m(1+Cosx)}{AH} \implies AH=\dfrac{m(1+Cosx)}{tgx}
Тогда AC=2\cdot AH=\dfrac{2m(1+Cosx)}{tgx}

Вопрос репетитору по математике от Жанат:Рисунок репетитора по математике к задаче на площадь
Пожалуйста. Помогите решить задачу на площадь по геометрии. Прошу вас...
В треугольнике АВС AB=AC=13; AC=24. На его стороне АС дана точка D так, что CD=6. Найдите S_{\triangle ADC}

Решение репетитора (Колпаков А.Н.).
Найдем сначала площадь всего треугольника ABC. Есть возможность действовать или по формуле Герона S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, или через высоту, проведенную к основанию. Дабы не усложнять рисунок дополнительной линией репетитор по математике работает с первым способом. Тогда p=\dfrac{13+13+24}{2}=25 — полупериметр треугольника. S=\sqrt{25 \cdot (25-13) \cdot (25-13) \cdot (25-24)}=\sqrt{25 \cdot 12^2 \cdot 1}=60
Воспользуемся известным фактом: при равных высотах отношение площадей двух треугольников равно отношению их оснований \implies \dfrac{DC}{BC}=\dfrac{S_{ADC}}{ABC} \implies \dfrac{6}{24}=\dfrac{S_{ADC}}{60} \implies S_{ADC}=60:4=15

Вопрос от Роберта:
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу из типовых вариантов ЕГЭ под номером C4 (задача представлена ниже).Треугольник ABC вписан в окружность. Ее радиус равен 12 см. Известно, что BC=4cм и AB = 6 см . Найдите AC.
Репетитор по математике использует теорему Птолемея (А.Н. Колпаков)
Самое быстрое и красивое решение задачи дает редкая, но в некоторых ситуациях незаменимая теорема Птолемея. Она есть у меня в справочном отделе сайта: если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений его сторон равна произведению его диагоналей. У нас никакого, казалось бы, четырехугольника нет. Построим его. Дополнительное построение репетитора по математике будет следующим:Дополнительное построение репетитора по математике продлим радиус BO до пересечения его с дугой AC в точке К. Получим четырехугольник ABCK. Он вписан в окружность. Искомый отрезок AC — его диагональ. Очевидно, что BK=24 см. Так вписанные углы BAK и BCP опираются на диаметр, следовательно они прямые. По теореме Пифагора в треугольниках \triangle ABK и \triangle CBK находим катеты AK и CK и применяем:
AK=\sqrt{24^2-6^2}=\sqrt{540}=6\sqrt{15}
CK=\sqrt{24^2-4^2}=\sqrt{560}=4\sqrt{35}
Применяем терему Птолемея:
BK\cdot AC = AB \cdot CK + BC \cdot AK
24\cdot AC = 6 \cdot 4\sqrt{35} + 4 \cdot 6\sqrt{15}
Сокращая на 24 получим окончательно:
AC=\sqrt{35}+\sqrt{15}
Комментарий репетитора о применении теоремы Птолемея: на ЕГЭ можно использовать любой известный в математике факт, не обязательно соответствующий программе 5-11 класса. Надо только на него не забыть сослаться при оформлении. Если нужно школьное решение — можно действовать через поиск углов A и C (по формуле \dfrac{a}{SinA}=2R). Найдя эти углы, применить теорему о сумме углов в треугольнике \angle B = \pi - (\angle A + \angle C) и через формулы приведения, удаляя «пи», найти косинус угла B по формуле Cos(A+C)=CosACosC-SinASinC. После этого AC легко находится по теореме косинусов. Но в таком случае мы получим не только более длинное решение, но и более громоздкое в плане вычислений.

Вопрос репетитору по математике от Светланы Ивановны:Уважаемый Александр Николаевич! Если Вам не трудно, помогите решить задачу: В трапеции АВСД сумма острых углов 90 градусов, меньшая диагональ ВД перпендикулярна основаниям ВС и АД. Найдите площадь трапеции, если основание АД = 2, СД = 18.
Репетитор о задаче с трапецией (А.Н. Колпаков)
Как репетитор по математике изображает трапециюТак как BD \perp AD , то острыми будут углы A и C. Так как \angle A + \angle C = 90^\circ, то \angle BDC = \angle DAB \implies \triangle BDC \sim \triangle DAB (по двум углам). Пусть BD=x, тогда составляя пропорцию из сторон подобных треугольников, получим \dfrac{BD}{AD}=\dfrac{BC}{AD} \implies \dfrac{x}{2}=\dfrac{BC}{x}, откуда BC=\frac{x}{2}[/math]. По теореме Пифагора в треугольнике BDC составим уравнение \left ( \dfrac{x^2}{2} \right ) ^2 + x^2=18^2
У меня получился корень x=\sqrt{10\sqrt{13}-2}.
Тогда S_{ABCD}=\frac{1}{2} \cdot BD \cdot (BC+AD)=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{10\sqrt{13}-2} \cdot (5\sqrt{13} -1 + 2). После некоторых манипуляций с иррациональностями получаем в ответе S_{ABCD}=3 \ \sqrt{5\sqrt{13}+1}.

Вопрос репетитору от Артема Иванова.Треугольник KLM подобен треугольнику NPR.Докажите,что отношение длин медиан,проведенных из K и N,равно коэффициенту подобия треугольников. Помогите, пожалуйста, задача с контрольной. Я ученик 8 класса. Не из России.
Репетитор по математике о задаче про медианы.Рисунок репетитора по математике к задаче про медианы Решение достаточно простое. Пусть коэффициент подобия треугольников равен k. Тогда \dfrac{LM}{PR}=\dfrac{LK}{PN}=k . Так как LH=\dfrac{1}{2} \cdot LM и PE=\dfrac{1}{2} \cdot PR \implies \dfrac{LH}{PE}= \dfrac{\frac{1}{2} \cdot LM}{\frac{1}{2}\cdot PR}=\dfrac{LM}{PR}=k. Следовательно \dfrac{LH}{PE}=\dfrac{LK}{PN}=k . Поскольку у подобных треугольников равны соответственные углы, то \angle L = \angle P . Треугольники LKH и PNE будут подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем \dfrac{KH}{NE}=\dfrac{LK}{PN}=k . Что и требовалось доказать.

Вопрос репетитору по математике от Тимерлана Селахова
Помогите с решениями этой задачи:
Задача репетитору по математике от Тимерлана Селахова

Решение (Колпаков А.Н.):
Треугольник ABD равнобедренный по определению (т.к. AB=DB по условию) и ВМ — медиана (т.к. АМ=DМ по условию). Следовательно ВМ — биссектриса и высота (по тереме о совпадении медианы с биссектрисой и высотой). Тогда \angle AMB = 90^\circ и поэтому \angle ABM = 180^\circ - (45^\circ + 90^\circ) = 45^\circ Так как \angle MBA и \angle CBA  — смежные углы, то \angle CBA = 180^\circ - \angle MBA = 180^\circ - 45^\circ =135^\circ

Вопрос от Тамины. Помогите найти площадь большого прямоугольника, разделенного на 12 квадратов, если площадь закрашенного квадрата равна 1 кв.см.

Задача про закрашенный квадрат. Решение репетитора по математике:
Задача про закрашенный квадрат с решением репетитора по математике
Очевидно, что площадь пяти нижних квадратов равна 8 и длина прямоугольника ABCD равна 4 см. Пусть BE=x, тогда NK=4-2x и соответственно NP=NM=2-x \implies MH=x- (2-x)=2x-2. Так как в длине отрезка MP укладывается 3 длины квадрата со стороной 2х-2, то очевидно MP=3 (2x-2). Учитывая, что MP=NK, получаем уравнение:
4-2x=3 (2x-2)
откуда x=1,25. Следовательно S_{ABCD}=8+4\cdot 1,25=13

Страницы: Назад 1 2

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий