Репетитор по математике он-лайн: планиметрия
Вопрос от Юлии:
Подскажите, как можно решить задачу: В треугольнике MNP угол M равен 40 градусов, угол N равен 20 градусов, а MN-NP=8. Найти длину биссектрисы, проведенной из вершины угла P. Задача взята из вступительной работы по математике в 8 класс физико — математического лицея.
Решение репетитора по математике к задаче про биссектрису (Колпаков А.Н.):
Пусть NP=x, MN=x+8. Очевидно, что . По теореме синусов имеем равенство:
Применим формулу синуса тройного угла:
. Сокращая на , после несложных преобразований получим, что
В треугольнике KNP снова по теореме синусов запишем:
Как и следовало ожидать, вся тригонометрия сокращается. Задача интересна тем, что имеет весьма красивое и простое решение (которое я показал) в противовес долгому и мучительному стандартному решению (через отрезок KN и теорему косинусов в треугольнике PKN).
Вопрос от Людмилы: Подскажите, как решить задачу: в равнобедренном треугольнике с углом альфа при основании высота, опущенная на основание, больше радиуса вписанного в треугольник круга на m. Основание треугольника равно? Спасибо.
Задача про высоту и радиус. Решение репетитора по математике.(Колпаков А.Н. )
По техническим причинам вместо альфа будем использовать родной и любимый всеми математиками икс :). Пусть в треугольнике ABC угол — угол при основании. Обозначим буквой N точку касания окружности с боковой стороной AB. Тогда и имеют два равных угла и . Поэтому . Так как высота больше радиуса на m, то BO=m. По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике имеем
Тогда . По определению тангенса острого угла A в прямоугольном треугольнике ABD имеем
Тогда
Вопрос репетитору по математике от Жанат:
Пожалуйста. Помогите решить задачу на площадь по геометрии. Прошу вас...
В треугольнике АВС AB=AC=13; AC=24. На его стороне АС дана точка D так, что CD=6. Найдите
Решение репетитора (Колпаков А.Н.).
Найдем сначала площадь всего треугольника ABC. Есть возможность действовать или по формуле Герона , или через высоту, проведенную к основанию. Дабы не усложнять рисунок дополнительной линией репетитор по математике работает с первым способом. Тогда — полупериметр треугольника.
Воспользуемся известным фактом: при равных высотах отношение площадей двух треугольников равно отношению их оснований
Вопрос от Роберта:
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачу из типовых вариантов ЕГЭ под номером C4 (задача представлена ниже).Треугольник ABC вписан в окружность. Ее радиус равен 12 см. Известно, что BC=4cм и AB = 6 см . Найдите AC.
Репетитор по математике использует теорему Птолемея (А.Н. Колпаков)
Самое быстрое и красивое решение задачи дает редкая, но в некоторых ситуациях незаменимая теорема Птолемея. Она есть у меня в справочном отделе сайта: если четырехугольник вписан в окружность, то сумма произведений его сторон равна произведению его диагоналей. У нас никакого, казалось бы, четырехугольника нет. Построим его. Дополнительное построение репетитора по математике будет следующим: продлим радиус BO до пересечения его с дугой AC в точке К. Получим четырехугольник ABCK. Он вписан в окружность. Искомый отрезок AC — его диагональ. Очевидно, что BK=24 см. Так вписанные углы BAK и BCP опираются на диаметр, следовательно они прямые. По теореме Пифагора в треугольниках и находим катеты AK и CK и применяем:
Применяем терему Птолемея:
Сокращая на 24 получим окончательно:
Комментарий репетитора о применении теоремы Птолемея: на ЕГЭ можно использовать любой известный в математике факт, не обязательно соответствующий программе 5-11 класса. Надо только на него не забыть сослаться при оформлении. Если нужно школьное решение — можно действовать через поиск углов A и C (по формуле ). Найдя эти углы, применить теорему о сумме углов в треугольнике и через формулы приведения, удаляя «пи», найти косинус угла B по формуле . После этого AC легко находится по теореме косинусов. Но в таком случае мы получим не только более длинное решение, но и более громоздкое в плане вычислений.
Вопрос репетитору по математике от Светланы Ивановны:Уважаемый Александр Николаевич! Если Вам не трудно, помогите решить задачу: В трапеции АВСД сумма острых углов 90 градусов, меньшая диагональ ВД перпендикулярна основаниям ВС и АД. Найдите площадь трапеции, если основание АД = 2, СД = 18.
Репетитор о задаче с трапецией (А.Н. Колпаков)
Так как , то острыми будут углы A и C. Так как , то (по двум углам). Пусть BD=x, тогда составляя пропорцию из сторон подобных треугольников, получим , откуда BC=\frac{x}{2}[/math]. По теореме Пифагора в треугольнике BDC составим уравнение
У меня получился корень .
Тогда . После некоторых манипуляций с иррациональностями получаем в ответе .
Вопрос репетитору от Артема Иванова.Треугольник KLM подобен треугольнику NPR.Докажите,что отношение длин медиан,проведенных из K и N,равно коэффициенту подобия треугольников. Помогите, пожалуйста, задача с контрольной. Я ученик 8 класса. Не из России.
Репетитор по математике о задаче про медианы. Решение достаточно простое. Пусть коэффициент подобия треугольников равен k. Тогда . Так как и . Следовательно . Поскольку у подобных треугольников равны соответственные углы, то . Треугольники LKH и PNE будут подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем . Что и требовалось доказать.
Вопрос репетитору по математике от Тимерлана Селахова
Помогите с решениями этой задачи:
Решение (Колпаков А.Н.):
Треугольник ABD равнобедренный по определению (т.к. AB=DB по условию) и ВМ — медиана (т.к. АМ=DМ по условию). Следовательно ВМ — биссектриса и высота (по тереме о совпадении медианы с биссектрисой и высотой). Тогда и поэтому Так как и — смежные углы, то
Вопрос от Тамины. Помогите найти площадь большого прямоугольника, разделенного на 12 квадратов, если площадь закрашенного квадрата равна 1 кв.см.
Задача про закрашенный квадрат. Решение репетитора по математике:
Очевидно, что площадь пяти нижних квадратов равна 8 и длина прямоугольника ABCD равна 4 см. Пусть BE=x, тогда NK=4-2x и соответственно NP=NM=2-x MH=x- (2-x)=2x-2. Так как в длине отрезка MP укладывается 3 длины квадрата со стороной 2х-2, то очевидно MP=3 (2x-2). Учитывая, что MP=NK, получаем уравнение:
4-2x=3 (2x-2)
откуда x=1,25. Следовательно
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }