Репетитор по математике он-лайн: тригонометрия

Вопрос репетитору от Виталия:
Помогите решить тригонометрическое уравнение:
Sin5x \cdot Cos 4x - Cos 5x \cdot sin4x=1
Как репетитор по математике объясняет решение (А.Н. Колпаков): В левой части данного уравнения располагается выражение, тождественно равное синусу разности углов 5х и 4x. Вот формула, по которой можно преобразовать левую часть:
Sin(x+y)=Sinx \cdot Cos y + Cosx \cdot Sin y
После ее применения уравнение преобразуется в простейшее тригонометрическое: Sinx=1 Его можно решить по общей формуле и получить x=(-1)^n \cdot arcsin 1 + \pi n \implies x=(-1)^n \cdot \frac{\pi}{2}+\pi n. Однако удобнее всего представить решение через тригонометрический круг (рекомендую решать именно так):Как репетитор по математике рекомендует решить уравнение Точка круга, имеющая ординату 1 располагается сверху. Она изображает угол равный \frac{\pi}{2}. К этому углу можно многократно прибавлять 2\pi. От этого значение синуса не изменится. Окончательно получим формулу для ответа: x=\frac{\pi}{2}+2 \pi n , где n \in Z

Вопрос от Елены: Помогите решить систему:

\begin{cases}y + Sinx=5 \\ 4y+2Sinx=19 \end{cases}

Решение репетитора:

Проведем несложные равносильные преобразования, предварительно умножив первое уравнение на 2

\begin{cases}2y + 2Sinx=10 \\4y+2Sinx=19\end{cases}

Вычтем из нижнего уравнения верхнее:

\begin{cases}2y = 9 \\4y+2Sinx=19\end{cases}

\begin{cases}y = 4,5 \\4\cdot 4,5 + 2Sinx=19\end{cases}

\begin{cases}y = 4,5 \\Sinx=0,5\end{cases}

\begin{cases}y = 4,5 \\x=(-1)^n arcsin 0,5 +\pi n\end{cases}

Ответ:

\begin{cases}y = 4,5 \\x=(-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n\end{cases}

Pages: 1 2

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий