Репетитор по математике в работе с подобием треугольников

Стратегия, которую выбирает репетитор по математике в каждом конкретном практическом случае, может быть разной. Однако, каковы бы ни были условия работы репетитора с учеником необходимо придерживаться принципа максимального продвижения вперед. Для этого требуется как можно полнее охватить изученное в классе и дополнить эти знания наибольшим количеством математических приемов работы по близким к теме задачам. В курсе геометрии с 7 по 9 класс выделяется несколько крупных разделов, на которые репетитор по математике заостряет внимание (особенно если осуществляется расширенная подготовка к ЕГЭ по математике с задачами С4. Это «площади», «окружность и ее элементы» и, конечно же, «подобие»! Все они изучаются в 8 — 9 классе (в зависимости от программы) и с большой вероятностью составят костяк любой конкурсной задачи по планиметрии. Если взять с десяток содержательных задач в плоскости (хотя бы те же С4 с ЕГЭ), не связанных с окружностью, то в 8 — 9 из них будет завязана площадь с подобием. тему «подобие» очень любят составители любых серьезных экзаменов и репетитор по математике при подготовке к ЕГЭ должен уметь преподносить ее качественно, быстро и доступно.

По учебнику Атанасяна подобные треугольники изучаются уже в середине 8 классе, когда как по Погорелову они поставлены в начало 9 класса. Логика изложения отличается в них очень сильно. Разное соприкосновение со смежным материалом порождает массу методических ошибок и казусов. Бывший репетитор по математике одного моего ученика при ответе на вопрос о равенстве соответствующих углов подобных треугольников сказл: «преобразование подобия сохраняет углы, поэтому они равны». И все было бы правильно, если бы не одно обстоятельство: ученик занимается по Атанасяну, в котором преобразование плоскости (такое как подобие) в 8 классе не рассматривается вообще.

Методически подготовленный репетитор по математике никогда не допустит подобных ошибок, ибо имеет большой опыт использования учебно-педагогической литературы само широкого профиля.

Учитывая тот факт, что Погорелов все реже и реже используется в школах (даже в обычном классе), в большей степени внимание репетитора по математике приковывается именно к Атанасяну. О нем и пойдет речь. Логическое построение темы является по сути стандартом для курса школьной математики и является продолжением изучения площадей.

Как репетитор по математике готовит ученика к пониманию подобия?

Прежде чем начать изучение темы, репетитору желательно провести практическую аналогию вводимого понятия с известными ребенку фактами и явлениями из жизни. Сложность возникает в том, что мы живут трехмерном мире, а не на листе бумаги. Ребенок имеет перед глазами примеры пропорционального изменении размеров реальных пространственных объектов. Поэтому примеры моделей машин или самолетов в 8 классе далеко не всегда снимают проблему понимания.

Эффективный практический пример для плоскости репетитору по математике найти непросто, ибо плоскость сама по себе является моделью пространства. Тогда, когда мы рисуем трехмерные объекты. Именно поэтому с ранних лет нужно развивать способность выполнять эти рисунки. Когда репетитор по математике в 6 классе рассказывает ученику о пропорциях и о масштабе — в самое время коснуться подобия. Конечно, нужно оставить взрослую терминологию: «коэффициент подобия», «соответствующие стороны», объясняя происходящее словами «увеличилось в два раза», «уменьшилось в 3 раза».

Подобие и компьютер
Я бы советовал репетиторам по математике на первом уроке по подобию включить компьютер и загрузить любую программу для просмотра и обработке фотографий. В таких программах, как правило, предусмотрена функция увеличения и уменьшения размеров картинки. В 8 классе дети уже самостоятельно работают на компьютере и им неоднократно приходилось увеличивали или уменьшать изображение на экране. Такую практику можно и нужно использовать. Если репетитор по математике подготовит для урока соответствующий jpg файл с фигурами — можно не только продемонстрировать подобие, но и проверить некоторые его свойства.

К главному свойству подобия, безусловно, относится свойство сохранения углов. Для проверки этого равенства можно провести небольшую лабораторную работу. Репетитор по математике подгружает сканер любой фигуры, имеющей углы (не обязательно треугольника), и измеряет их самым обычным транспортиром, приложенным к экрану. Затем, например, уменьшает размер изображения стандартной кнопкой «минус» и повторяет измерения.

Демонстрация примера повседневного использования подобия, несомненно, отложится в голове современного школьника. Причем такой урок репетитор по математкие может провести уже в 6 классе. Ребенок получит начальные представления о новом понятии в раннем возрасте и подойдет к его подробному изучению в будущем более подготовленным. Использование компьютера на вводном уроке репетитора по математике в 8 классе тоже даст положительный эффект.

Безусловно, в том случае, если индивидуальные занятия проводятся с целью подготовки к ЕГЭ по математике на профильном уровне, то репетитору не потребуется разжевывание элементарного. Слабому троечнику в 11 классе оно тоже не нужно. По крайней мере в задачах части «В» на трех последних ЕГЭ свойства подобных фигур не использовались.

О доказательстве признаков подобия:
Обоснование признаков в учебнике Атанасяна основано на использовании теоремы об отношении площадей треугольников с равной парой углов. Ученика, которым можно излагать математику относительно аккуратно и строго, я даю теорему о разделительном отрезке, которая почему-то не выделяется в программах как самостоятельный факт. А жаль! Если репетитор по математике рассмотрит ее как отдельную теорему, он упростит понимание доказательства.

Теорема о разделительном отрезке: если в треугольнике MNK проведен отрезок NO к его основанию, то $\dfrac{S_{MNO}}{S_{KNO}}=\dfrac{MO}{KO}$ . Факт имеет огромное применение в сложных задачах на площади, поэтому, при соответствующих целях подготовки к ЕГЭ по математике, репетитору желательно занести его теоретическую тетрадь ученика.

В 90-95% случаев, дабы не застревать с теорией, я пропускаю доказательства второго и третьего признака подобия (по пропорциональным сторонам) и сразу перехожу к практике решения задач. Имеется огромная база содержательных и методически выверенных комплектов заданий на подобие. Решение большого количества задач — гораздо более полезное занятие, чем заучивание доказательств.

5 правил репетитора по математике

1. Индексы в обозначениях

1) Во всех доказательствах и объяснениях для обозначения соответствующих вершин лучше использовать индексы, то есть, например, обозначать треугольники так: $\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle A_2B_2C_2$ . Как бы ни было противно было выписывать единички и двойки. Такая система позволяет ученику лучше контролировать соответствие элементов, а репетитору по математике предоставляет возможность ввести нумерацию треугольников (первый и второй) для удобного и быстрого обращения к ним в процессе объяснений.

2. Свойства линейных размеров

Отношения, из которых в задаче на подобие составляется пропорция, составляются не только из сторон. На одном и том же уроке репетитор по математике может несколько раз повторить ученику: «Если коэффициент подобия равен, например, числу 3, то это означает, что у треугольников ровно в 3 раза будут отличаться все соответствующие линейные размеры (длины)». Или так: «Коэффициент подобия равен отношению любых соответствующих линейных размеров». В эту группу попадают не только отрезки (высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанных и описанных окружностей), но и периметры треугольников. Если у школьника возникают проблемы с пониманием термина «линейный размер», репетитор по математике дает ему следующее «бытовое» определение: «линейный размер — это то, что можно измерить линейкой.» Что называется — для тех, кто в танке. Понятно, что площадь — не является линейной величиной (не имеет линейного размера), так как ее нельзя измерить линейкой.

Привязывая новый термин к знакомому действию (измерению линейкой), репетитор по математике воздействует на механизмы работы ассоциативной памяти ребенка и поэтому информация быстро и легко запоминается. Как то у меня был перерыв в работе с одним учеником, которого я вел с 6 класса. В 9 классе и 10 классе у нас не получилось организовать занятия и мы решили с родителями остановиться на подготовке к ЕГЭ. Каково же было мое удивление, когда ученик в 11 классе слово в слово закончил мою фразу «...равен отношению любых линейных размеров».

3. Памятка репетитора по математике: «Паровозик» из дробей

В теоретической тетради я выписываю длинную цепочку из отношений соответствующих элементов подобных треугольников $\triangle A_1B_1C_1$ и $\triangle A_2B_2C_2$ :

$\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2}=\dfrac{B_1C_1}{B_2C_2}=\dfrac{A_1C_1}{A_2C_2}=\dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{m_1}{m_2} =\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{P_1}{P_2}=k$ , где

$h_1$ и $h_2$ — высоты
$m_1$ и $m_2$ — медианы
$b_1$ и $b_2$ — биссектрисы
$r_1$ и $r_2$ — радиусы вписанных окружностей
$R_1$ и $R_2$ — радиусы описанных окружностей
$P_1$ и $P_2$ — периметры
k- коэффициент подобия

Эта запись позволяет репетитору визуально отобразить содержательную часть второго правила.

Сильным ученикам к «паровозику из дробей» я прицепляю еще одним «вагончик», — пропорцию $k=\sqrt{\dfrac{S_1}{S_2}}$ . Для остальных даю формулировку соответствующего свойства в обычной форме: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

4. Соблюдение репетитором по математике правила соответствия вершин

В практической работе с подобием крайне важно научиться выписывать пропорцию сторон (или соответствующих элементов) по крайне скудной информации о самих треугольниках (по равенству углов). Репетитору важно отработать схему решения большинства задач: равные углы ===> подобные треугольники ===> пропорция (уравнение). Если в 7 классе соответствующие стороны равных треугольников легко выявляются по рисунку, то в подобии крайне тяжело бывает перетащить с рисунка в пропорцию нужные линейные размеры. Ученика часто дезориентирует расположение треугольников на чертеже. Кроме этого, элементы подобных треугольников еще нужно правильно расположить по отношению к друг другу в самой пропорции. Что-то поставить в числитель, а что-то в знаменатель. У ребенка этот процесс часто вызывает серьезные затруднения. Репетитору по математике нужно дать четкие инструкции по выявлению сходственных (соответствующих) элементов. Для этого нужно научить ученика правильно обозначать сами треугольники. Чаще всего в задачах на подобие используется признак подобия «по двум углам». Это играет репетитору только на руку. На рисунке углы в обязательном порядке выделяются (одинаково обозначаются). Вершины первого треугольника записываются в любом порядке. В процессе этого занятия репетитор по математике просит ученика произнести вслух обозначения соответствующих углов. Например так: «Закрашенный угол ===> дуга ===> пустой (не закрашенный).» Этот же порядок переносится на вершины другого треугольника. И только так. Практика моей работы репетитором по математике доказывает эффективность такого подхода. Ученики 8 класса мгновенно схватывают правило и сразу же берут его в оборот в решении задач.

5. Быстрый переход к практике
Даже самая лучшая методика объяснений репетитора по математике в сочетании с грамотно выстроенной последовательностью изложения теории и удобной системой условных обозначений не сможет обеспечить усвоение материала, если он не закреплен на достаточном количестве решенных задач. Практические занятия позволяют «дожать тему до конца», сглаживая шероховатости объяснений словно наждачная бумага заусенцы на необработанной древесине. Если репетитор по математике нацелен перейти к задачам как можно быстрее, ему не следует доказывать все три признака подобия. Достаточно остановиться на самом популярном из них — на признаке подобия по двум углам.

Колпаков А.Н Репетитор по математике — Москва. Уроки в Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий

Репетитор по математике в работе с подобием треугольников