Репетитор по математике в работе с темой «равенство треугольников»

Тема «равенство треугольников» изучается в самом начале 7 класса (как по учебнику Погорелова, так и по учебнику Атанасяна) и является фундаментальной для всей планиметрии. Поэтому от того, насколько точно и аккуратно репетитор по математике подойдет к ее изучению, будет зависеть качество понимания всего остального материала вплоть до 9 класса. Темы «треугольник» и «равные треугольники» обычно объединяются в один урок. На нем репетитор математики готовит фундамент для понимания главного раздела «признаков равенства треугольников». Какие акценты должен расставить преподаватель? Какие задания и стратегии способствуют лучшему усвоению темы?

Начать нужно с определения cамого треугольника и его элементов (вершин, углов и сторон). Обязательным является изучение таких понятиях, как «противолежащая и прилежащая сторона», «противолежащий и прилежащий угол». Фразы шипящие и фонетически трудно разделяющиеся :) Поэтому дети их часто путают. А еще они трудновыговариваемые :). Поэтому репетитору математики приходится искать более легкие варинты для подсказок на случай, если ребенок забудет смысл понятий. Можно посоветовать использовать сочетание «дальний — ближний». Оно более естественное для ученика и не требует от репетитора каких-то дополнительных разъяснений.

Принципиальная разница между программами по Атанасяну и Погорелову – введение определения равных треугольников. Если вы преподаватель школы или частный репетитор математике, то наверняка знаете, что в Атанасяне оно использует наложение, а в Погорелове равенства шести пар элементов: \angle A = \angle A_1; \angle B = \angle B_1; \angle C = \angle C_1 ; AB=A_1B_1; BC=B_1C_1=AC=A_1C_1. Прежде чем давать задания на треугольники репетитору по математике необходимо эти определения «подровнять», переходя от наложения к сравнению всех элементов. Почепму репетитор по математике нарушает концепцию, заложенную в Атанасяне? Неужели это правильно? По теории — не совсем правильно, но практика показывает, что при отказе от наложения у учащихся формируются подготовительные навыки работы с равными треугольниками. В таком подходе репетитору по математике удается связать понятие «равенство» сложных и простых объектов друг с другом для решения хоть каких-то задач.

При работе с учебником Погорелова репетитор по математике имеет все возможности сформировать у ребенка понятие «равные треугольники» еще до изучения признаков. Наложение же не оставляет преподавателю никаких задач для органиции практической работы. Не вырезать же в самом деле из тетради треугольники. Не накладывать же их физически? Поэтому, даже если имеется учебник Атанасяна, то будет лучше, если репетитор по математике построит урок на проверке шести равенств сторон и углов.

Этот переход можно комментировать следующим образом: «если мы наложим один треугольник на другой, то у нас совместятся все элементы. Правильно? Поэтому все стороны и углы будут равными. Правильно? Если мы будем знать об их равенстве с самого начала, то не придется ничего накладывать. Поэтому для проверки равенства двух треугольников надо сравнить все их стороны и углы».

Дети в младшем возрасте не понимают законов строгой логики и поэтому не заметят в объяснения репетитора по математике никаких шероховатостей. Главное то, что у ученика не возникает ощущение какой-то подмены, поэтому можно смело переходить к задачам.

Наибольшие трудности, которые репетитор по математике испытывает в работе с треугольниками (до изучения признаков их равенства), является крайне малое количество интересных задач. Действительно, кроме банальных выводов о равенстве соответствующих сторон на готовых парах равных треугольников ничего тольком и не предлагается. Сильному школьнику уже через несколько минут станет скучно, а слабый, не задумываясь, будет переписывать в ответ числа из условия (длины сторон одного из треугольников). Какие задачи использую я?

Нужны содержательные и развивающие формы. Некоторую свободу репетитору по математике дает использование периметра, например: \triangle MNK = \triangle PQS , NK=5 см, MN=6см, P_{PQS}=18 cм. Найдите MK.

Однако, на одних периметрах далеко не уедешь, а удержать внимание на теме необходимо. В отсутствии вычислительных и логических средств для сочинения задач, репетитору по математике не остается ничего другого, как обыграть ситуации с обозначениями и записью равных треугольников.

Как репетитор по математике обозначает равные треугольники?

Необходимо сформировать у учащегося представление о правилах и культуре оформления равенства. Для этого придется особо выделить такое понятие, как соответствующие элементы. Я рекомендую репетиторам разъяснить его таким образом: равные стороны и углы мы будем называть соответствующиеми элементами и располагать их буквы в обозначении треугольников на соответствующих местах. Если известно, что стороны AB и MN у треугольников равны, а буквы A и B располагаются первыми в обозначении одного из них, то M и N мы будем тоже ставить первыми в обозначении другого.

Есть хорошее устное упражнение: репетитр по математике выписывает \triangle ABC =  \triangle PHE и называет в определенном порядке следования букв угол или сторону в первом треугольнике. А ученик вслед за репетитором называет соответствующий ему элемент во втором треугольнике. Например \angle BCA и \angle HEP .

Как репетитор по математике выделяет соответствующие стороны?

Я показываю соответствующие стороны равных треугольниках ABC и MNK таким образом:
Как репетитор по математике выделяет соответствующие стороны

Задачи на обозначение:
Два треугольника имеют равные элементы
1) \angle A = \angle M
2) \angle P = \angle D
3) \angle C = \angle O
4) AP=MD
5) PC=DO
6) AC=MO
Обозначьте эти треугольники и запишите их равенство.

Для того, чтобы прокрутить перед глазами ученика разные способы обозначения углов репетитор по математике меняет их запись с одной буквы на три, а также перемешивает строчки, например:

1) \angle PAO = \angle KNM
2) OP=MK
3) \angle AOP = \angle NMK
4) PA=KN
5) OA=MN
6) \angle OPA = \angle MKN

Несмотря на то, что записать ответ можно по первой строке, а все остальные проверить с его помощью, репетитор по математике выписывает все 6 равенств. Это нужно для того формирования представления о полной проверке. У ребенка должно отложитьяс в гоове, что нельзя делать выводы о равенстве тругольников по одной паре углов.

Как репетитор математики показывает соответствующие углы?

Если в обозначениях равных треугольников нужно выделить соответствующие углы, я указываю порядок следования их букв соответствующей стрелкой. Очень удобно и информативно. Как репетитор по математике указывает углы

Мое любимое задание:
По данным рисунка обозначьте треугольники и запишите их равенство:
Как репетитор по математике задает равные треугольники

Обратите внимание, что картинка выбирается так, чтобы на ней не было визуально понятно, какие стороны и углы равны (поэтому репетитор по математике изображает треугольники, похожие на равносторонние). Выполняя задание в такой форме ребенок учится доверять точной информации, а именно черточкам и дугам.

Часто дети сравнивают формы тругольников в процессы выбора обозначений. То есть синхронное движение карандаша сначала по короткой стороне, а затем по длинной вызывает соответствующий порядок записи вершин. Безусловно, это должно быть сформировано. Но если не понятно что длиннее, а что короче, то возникают проблемы. Это мешает воспринимать искаженные рисунки и усложняет, например, понимание доказательства признака и свойства равнобедренного треугольника по учебнику Погорелова. Репетитору по математике крайне важно сформировать умение работать без рисунка. Поэтому, когда ребенко нашел и обозначил равные треугольники и хочет выписать их элементы, я часто закрываю рисунок рукой и прошу это сделать через обозначение.

Надо сказать, что авторы не всех задачников придерживаются строгих правил оформления и иногда равные элементы располагают в произвольном порядке. Хороший репетитор по математике никогда не пойдет на то, чтобы разрешить ученику писать точно так же. В сложных задачах правильное соответственное обозначение поможет сориентироваться в том, какие стороны будет равны (как и пропорциональны при изучени подобия в 8 — 9 классе).

Методика поиска ошибки.
К сожалению, к предложенным выше заданиям ученик может подобрать ключик, с помощью которого он будет не задумываясь «штапмповать» равные треугольники без полной проверки всех шести соответствий. Если известно, что треугольники равны, то можно и не проверять всего перечисленного. Задачи на поиск ошибки компенсируют этот недостаток. Репетитор по математике ловит ученика на таком рисунке:
Как репетитор по математике ловит ученика

Важно сохранить задание и попросить записать равенство треугольников. Если ребенок хитрил с другими номерами и не проверял ранее все 6 соответствий (выписывал обозначение только по углам), то это вскроется. Понятно, что ошибка, заложенная репетитором по математике в реальности произойти не может, но это не умоляет достоинство номера. Его цель — усвоение важного понятия.

Задания репетитора математики с частичным обозначением

Известно, что \triangle A \Box \Box = \triangle \Box \Box K и соответственно равны стороны этих треугольников: PA=BD. Восстановите запись этого равенства, если треугольники имеют вершины A,D,B.K,P,E
Здесь ученик поставлен в условия, когда ему приходится перебирать комбинировать буквы и проверять

Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва.

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Валерий февраля 15, 2012 в 10:07

Здравствуйте.
Зачем в условие равенства треугольников вводить избыто? Есть же признаки равенства по одной стороне и двум углам.
Валерий.

Колпаков А.Н. февраля 15, 2012 в 15:04

Описывается не работа репетитора по математике с признаками равенства, а с определением!!! А в нем как раз все в избытке (по крайней мере по Погорелову). Читайте внимательно.

Оставьте комментарий