Репетитор по математике в работе со смежными и вертикальными углами

Если отбросить отдельные мелкие темы, не влияющие на общее построение теории, то курсы геометрии в 7 классе по учебнику Погорелова и и по учебнику Атанасяна будут мало чем друг от друга отличаться. На первых уроках репетитор по математике не часто испытывает какие-либо проблемы с преподнесением материала, ибо изучаются очень простые и знакомые объекты: отрезок, луч, угол. Первые занятия больше напоминают уроки рисования и поэтому даются детям сравнительно легко. (по любому учебнику). Что-то более содержательное начинается с темы «смежные и вертикальные углы». О ней и поговорим.

Если ребенок приходит к репетитору математики с уже сформированным представлением об углах и отрезках, то введение в планиметрию можно сократить до разъяснения правил обозначений и смело двигаться дальше. Однако перед тем как начать новую тему репетитору необходимо убедиться в том, что ребенок знает свойство (аксиому) измерения углов. Она звучит следующим образом: если провести луч между сторонами угла, то его градусная мера будет равна сумме градусных мер его частей. Именно этот факт используется репетитором по математике для доказательства теоремы о смежных углах, поэтому нужно обратить на него внимание ученика.

Смежные и вертикальные углы не является сложной для преподавания темой. Смысловая нагрузка минимальная, теоремы простые, а в некоторых случаях (при работе с сильным учеником) изучаемые объекты (смежные углы) и вовсе могут быть представлены без какого-либо формального определения (как части развернутого угла). Репетитор по математике сразу же закрепляет новые понятия через содержательные задачи. Но такой подход удается реализовать не часто. Обычно требуется некая подготовительная процедура, о которой пойдет речь ниже.

Записывает ли репетитор по математике определения углов?

Да, я предпочитаю продиктовать их для теоретической тетради. Почему? Во-первых, новую терминологию надо зафиксировать, во-вторых, репетитор по математике с помощью записей показывает ребенку не только важность самого понятия «смежные углы», но и определения как такового. Ученик постепенно привыкает, что перед использованием нового объекта его сначала нужно описать и дать ему название. Акценты в формулировках должны быть расставлены репетитором по математике в письменном виде. Я подчеркиваю красными чернилами две главные фразы в тексте для смежных углов: «общая сторона» и «дополнительные лучи».

Отработка определения
В работе со слабым учеником репетитору по математике необходимо заняться углами на отдельных чертежах. Сначала на простых, а затем на сложных. Цель – научить ребенка выявлять углы различных комбинациях линий. Репетитор по матемаик предлагает рисунки, на которых не будут выполняться какие-нибудь пункты определения.

Задания репетитора по математике

Приведем примеры наиболее интересных и полезных с точки зрения методики задач. Часть из них авторские.

1) Являются ли углы, изображенные на рисунке смежными? Если не являются то почему? Какое условие в определении не выполняется?
Как репетитор по математике закрепляет определение смежных углов Отработка определения смежных углов. Методика репетитора математики








2) Для того, чтобы репетитору по математике научить ребенка распознавать смежные углы в разных положениях, необходима тренироваться в умении видеть. Подготовка заданий с различными отклонениями дополнительных лучей от горизонтального вида:
Рисунок репетитора по математике для смежных углов

3) Очень важно для репетитора научить ребенка распознавать углы на комбинированном рисунке, когда проведено множество линий.

Укажите все пары смежных углов на рисунке:


Задание репетитора на выявление всех пар углов

4) Укажите все пары вертикальных углов на рисунке:


Задание репетитора на выявление вертикальных углов

5) Классические номера:
а) Один из смежных углов на 30 град больше другого. Найдите эти углы.
б) Один из межных углов в 2 раза меньше другого. Найдит больший угол
в) Один из углов составляет \frac{4}{5} другого угла. Найдите меньший из них.

Задания репетитора по математике для среднего ученика

Среднему ученику будет откровенно скучно заниматься по такой программе. Для него я даю задания посложнее, например:

Если луч OB повернуть на 20^\circ так, как показано на рисунке 2, то \angle AOB_1 получится на 40^\circ больше угла \angle COB . Найдите углы АОВ и СОВ на рисунке1.
Задание репетитора по математике для сильного ученика. Смежные углы
Задание репетитора по математике для сильного ученика. Поворот луча

Конечно, можно было бы обойтись и одним рисунком. При помощи 20 и 40 градусов, все углы выражаются через одну переменную и составляется стандартное уравнение. Но я намеренно усложняю условие для дополнительного увеличения смысловой нагрузки на задачу. Кроме того, вращение позволяет репетитору по математике сформировать представление у семиклассника о сохранении объекта при любом расположении луча. Это можно затронуть при обсуждении условия задачи.

Задания репетитора по математике для сильного ученика

1) Из вершины О развернутого углы АОС проведены лучи ОВ и ОN так, что \angle AOB + \angle CON = 200^\circ . Найдите \angle BON

2) Из вершины О развернутого углы АОС проведены лучи ОВ и ОN так, что угол градусная мера угла COB составляет 40% градусной меры угла CON, а угол BON составляет \frac{3}{13} угла AOB. Найдите углы COB, BON и AON.

Александр Николаевич, репетитор по математике — 7 класс

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Евгения сентября 6, 2015 в 20:29

Большое спасибо за методу, в особенности за проверку определения по рисункам. Есть вопрос по задаче 1 для высокого уровня. Не собьет ли ребенка с толку отсутствие уточнения от репетитора по математике о взаимной направленности лучей OB и ON? Ведь они могут быть проведены в разные стороны относительно развернутого угла. Или же стоит предоставить ученику самому отсечь этот вариант за недостатком данных?

Колпаков А.Н. сентября 7, 2015 в 5:15

Приятно читать о том, что Вы обратили на это обстоятельство внимание. На практике более половины сильных учеников отложат репетитору по математике углы именно в одну полуплоскость (причем в верхнюю). В ином случае репетитор получает сигнал от ученика о возможности направить урок некое исследовательское русло. Важно раскрыть ситуацию через движение / поворот лучей. Если один повернуть в сторону уменьшения его величины, а другой в сторону увеличения, то сумма сохраниться. Величина угол BON будет только расти и поэтому он не вычисляется. Задачу №1 полезно применять для теста способностей сильного ученика на первых уроках. Если догадается рассмотреть все случае — его уровень высок. Если еще и скажет, что данных недостаточно — то перед репетитором сидит будущий математик.

Оставьте комментарий