Решение репетитора по математике номера с2 с ЕГЭ 2013г
Если у Вас нет под боком репетитора по математике и возникают трудности с поиском решения задачи С2 последнего ЕГЭ 2013г — посмотрите мое решение одной из задач московского варианта. Я постарался идеально точно и подробно рассмотреть доказательную часть номера, выбирая самый простой из всех возможных путей обоснования. Надо отметить, к работе с сечениями репетитор по математике мог заранее подготовить своего ученика и их присутствие в реальном ЕГЭ не стало сюрпризом. В диагностических работах этого года было достаточно примеров на сечения, чтобы сформировать прогноз содержания финального номера. Приятного просмотра.
Задача С2 с ЕГЭ по математике 2013г
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны по 15см, а каждое боковое ребро равно 16 см. Проведено сечение пирамиды плоскостью через точку D, середину H ребра MB и параллельно одной из диагоналей основания. НАйдите площадь этого сечения.
Подробное решение репетитора по математике
Из условия понятно, что эта диагональ АС. Пусть P и S — точки пересечения секущей плоскости с ребрами AM и CМ пирамиды соответственно и MO — высота пирамиды. Докажем, что прямые DH, PS и MO пересекаются в одной точке. Пусть DH пересекает MO в точке E. Докажем, что E лежит на прямой PS. Имеем: . Аналогично E лежит в плоскости сечения. Так как плоскость сечения и плоскость пересекаются по прямой PS, следовательно все их общие точки (в том числе и точка Е) лежат на PS. Значит E лежит на PS.
Теперь докажем, что диагонали четырехугольника DPHS перпендикулярны. Так как АС перпендикулярна плоскости DMB, то параллельная ей прямая PS тоже будет перпендикулярна плоскости DBM, а следовательно перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Поэтому PS перпендикулярна DH.
Воспользуемся известной формулой площади четырехугольника:
. Осталось найти DH и PS. Очевидно, что DH и ME — медианы треугольника DMB, а поэтому в точке пересечения E делятся в отношении 2:1, считая от вершин. Значит ME:EO=2:1. Так как треугольники PMS и АМС подобны, то отношение их высот ME и MO равно коэффициенту подобия k=PS:AC=ME:MO=2:3, значит
.
И, наконец найдем DH.
По теореме косинусов в треугольнике DHB имеем:
Окончательно находим
Данная задача предлагалась в регионе Москва. На периферии номера с2 были несколько иными.
А.Н. Колпаков, репетитор по математике из Строгино. Подготовка к ЕГЭ в Москве.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }