Решение репетитора по математике задачи С1 с ЕГЭ 2013г

В рамках он-лайн консультаций по вопросам апелляции и подготовки к ЕГЭ публикую свои решения задач «С» части с последнего экзамена 2013 года. Обычно репетитор по математике смотрит в сторону С1 в процессе работы даже со слабым учеником, несмотря на имеющиеся у него начальные пробелы. Почему? Потому, что С1 легче остальных задач профильной части, а соответствующие приемы решений хорошо поддаются объяснению и систематизации. На основании содержания демонстрационных и диагностических вариантов репетитору по математике удается спрогнозировать содержание первого номера с вероятностью 60-70 %. Решение С1 легко переваривается большинством средних по уровню учеников.

а) Решите уравнение 20^{Cos x} = 4 ^{Cosx} \cdot 5^{-Sinx}
б) Найдите все его корни, находящиеся в отрезке \left [ -\dfrac{9\pi}{2}; -3 \pi \right ]

Разложим число 20 на множители 5 и 4 и «расколем» степень 20^{Cos x}на отдельные множители. Получим:

4^{Cos x} \cdot 5^{Cosx} = 4 ^{Cosx} \cdot 5^{-Sinx}

Разделим обе части уравнения на выражение 4^{Cos x}, которое не равно нулю ни при каких значениях переменной икс. Легким движением руки репетитор по математике превращает показательное уравнение в простенькое однородное тригонометрическое:

5^{Cosx} = 5^{-Sinx}

Так как функция f(x)=5^x принимает каждое свое значение ровно в одной точке, равенство левой и правой части возможно только при условии равенства соответствующих показателей. Следовательно

Cosx = -Sinx

Углы, для которых выполняется условие Cos x =0 , не являются корнями последнего уравнения (иначе Sin x =0 и нарушается основное тригонометрическое тождество). Поэтому без ущерба для ответа обе части уравнения можно спокойно разделить на Cosx. Получаем:

\dfrac{Cosx}{Cosx} = \dfrac{-Sinx}{Cosx}

1=-tgx

tgx=-1

x=arctg(-1) + \pi n , где n \in Z

x= -\dfrac{\pi}{4}+ \pi n , где n \in Z

Ответим на вопрос части б)
Для этого найдем все целые значения числа n, для которых выполняется условие

-\dfrac{9\pi}{2} \leqslant -\dfrac{\pi}{4}+ \pi n \leqslant -3 \pi

Добавим к обеим частям данного неравенства \dfrac{\pi}{4}

-\dfrac{9\pi}{2} + \dfrac{\pi}{4} \leqslant \pi n \leqslant -3 \pi +\dfrac{\pi}{4}

-\dfrac{17\pi}{4} \leqslant \pi n \leqslant -\dfrac{11 \pi}{4}

Разделим обе части на положительное число \pi

-\dfrac{17}{4} \leqslant n \leqslant -\dfrac{11 }{4}

-4\dfrac{1}{4} \leqslant n \leqslant -2\dfrac{3 }{4}

Полученному неравенству удовлетворяют следующие целые значения n:
n_1=-4 и n_2=-3

Вычислим соответствующие им углы:
x_1=-\dfrac{\pi}{4}+ \pi \cdot (-4) = -\dfrac{17\pi}{4}

x_2=-\dfrac{\pi}{4}+ \pi \cdot (-3) =-\dfrac{13\pi}{4}

Ответ:
а) x= -\dfrac{\pi}{4}+ \pi n , где n \in Z

б) x_1=-\dfrac{17\pi}{4} и x_2=-\dfrac{13\pi}{4}

Репетиторам по математике, которым достались самые слабые дети, могу посоветовать остановиться на разъяснении / практическом закреплении навыков полного решения тригонометрического уравнения C1. Почему? В отборе корней легко допустить вычислительную ошибку или запутаться с рисунком. Увеличения длины решения порождает ошибки возвратного характера, когда учащихся, например, забывает подставить вместо n найденные целые решения двойного неравенства. Кроме того, проверка удваивается в случае наличия двух серий углов. Легко забыть про вторую серию. Я рекомендую репетитору собрать внимание слабого выпускника в С1 именно на части а). Попытки выдавить из отстающего школьника способности, которых нет, обычно ничем не заканчиваются.

Удачного разбора решений с учениками!!!

Московский репетитор по математике, Александр Николаевич. м.Строгино — м.Щукинская.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий