Решение репетитором по математике задач варианта подготовки в 57 школу

К сожалению, у меня слишком мало времени для публикации еще и подробных решений всех олимпиадных задач с сайта. Буду стараться это делать по мере возможностей. Пока предлагаю Вам только первую задачу из варианта подготовки в 57 школу:

Допустим наши числа таковы a<b<c<d<e<f<g

Центральное — число d. Предположим, что число 3 можно можно получить указанными действиями, то есть
\dfrac{a+b+c+d+e+f+g}{7} - d = 3
Умножим обе части равенства на 7:
a+b+c+d+e+f+g - 7d = 21
Сложим подобные слагаемые, получим
a+b+c -6d +e+f+g = 21

Так как числа a,b,c,e,f и g — нечетные и их количество — 6 штук, то их сумма четна. Слагаемое -6d эту четность сохраняет и поэтому результат 21 должен быть четным, что неверно. Открылось противоречие, значит 3 не получить никак.

Колпаков А.Н. Олимпиадный репетитор по математике. Подготовка в сильные математические школы: Курчатовская школа, 57 школа, Второй лицей и др.