Справочник репетитора по математике. Дополнительные теоремы планиметрии



На этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Справочник репетитора по математике. Свойство серединного перпендикуляра Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2)Справочник репетитора по математике. Свойство медианы, биссектрисы и высоты Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству m \geqslant b \geqslant h .




3) Справочник репетитора по математике. Свойство ортоцентра треугольника В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Справочник репетитора по математике. Замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем MH=2\cdot MO . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.



5) Справочник репетитора по математике. Свойство персекающихся окружностей Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Справочник репетитора по математике. Свойство биссектрисы в треугольнике Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство BK^2=AB \cdot BC- AK \cdot KC

7) Справочник репетитора по математике. Свойство радиусов Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, r_1^2+r_2^2=R^2, где r_1 и r_2 — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а R — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8)Произвольный четырехугольник Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdCos^2 \frac {x}{2}}, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то x=180^\circ и формула принимает вид :
S_{ABCD}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)} и называется формулой Брахмагупты

9)Описанный четырехугольник Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле S=\sqrt{abcd}\cdot Sin\frac{x}{2}




10)Вписанный и описанный четырехугольник Если четырехугольник одновременно является и вписанным x=180^\circ и описанным (a+c=b+d), то предыдущая формула принимает совем простой вид: S=\sqrt{abcd}.




11) Для формулы биссектрисы в треугольнике Биссектриса l_a, проведенная в треугольнике ABC к сторона a вычисляется по формуле l_a=\dfrac{2bcCos\frac{A}{2}}{b+c}, где b и с -две другие стороны, а \angle A — угол между ними.




Комментарий репетитора:
Геометрия богата на красивые и эффектные комбинации фигур и их свойств. Жаль, что школьная программа не способна вместить в себя и трети того, что можно было бы рассказать. Замечу, что интересных планиметрических теорем значительно больше, чем алгебраических, но они труднее выявляются и быстро забываются. Почему забываются? Потому, что задачи на большинство из них носят весьма обособленный и штучный характер. Нет ничего страшного или странного в том, что репетитор по математике (чаще такое случается с начинающим репетитором) не знает каких-либо скрытых и глубоких взаимосвязей и теорем. Хорошим репетитором, как собственно и хорошим математиком, становятся не сразу. Необходима школа решения именно конкурсных задач.

Опытному репетитору, дабы не потерять квалификацию, я советую регулярно просматривать варианты олимпиад вне зависимости от состава текущих учеников. Прежде всего для поддержания соответствующего уровня развития. Заглядывайте в справочники и энциклопедии. Расширяйте свой кругозор и совершенствуйтесь! Для этого сделана данная страница!

При наличие дополнительных знаний геометрических фактов репетитор по математике окажет весомую помощь ученику в поиске быстрых решений. Например, такую помощь можно получить у меня в Строгино. В перспективе, при плотной работе с задачами это приведет к снижению времени на решение задачи С4 на ЕГЭ по математике. На ЕГЭ можно решать задачу любым правильным способом, даже с применением средств и свойств, не входящих в школьную программу (в том числе методами высшей математики).

С глубоким уважением, Колпаков А.Н.
Квалифицированный репетитор по математике. Строгино. м.Щукинская. Подготовка к любым видам экзаменов, а также к олимпиадам.

{ 6 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Анжелика января 19, 2012 в 23:35

Спасибо!!! Материалы сайта оформлены доступно и красочно, часто использую их при решении домашних задач. К сожалению, живу в другом городе и нет возможности нанять репетитора. В школе дают минимум и поэтому для меня многие теоремы с этой странички были не знакомы.

Andrew февраля 20, 2012 в 19:03

Случайно наткнулся на сайт. Очень приятный, легкий, белый. Зашел по запросу — точка пересечения высот.

Колпаков А.Н. февраля 20, 2012 в 23:42

Спасибо за хорошие отзывы. Дополнительные справочные материалы публикуются для тех, у кого нет возможности заниматься с репетитором по математике постоянно. Буду и впредь стараться публиковать теоретические сведения и комментарии к ним максимально доступно, наглядно и информативно. К сожалению, на всю справочную математику просто не хватает времени. А материала еще очень много. Постепенно я перенесу на сайт все необходимое не только для полноценной подготовки к ЕГЭ, но и для подготовки к олимпиадам, различным переводным и вступительным экзаменам (в том числе и в МГУ).

Арсений апреля 12, 2012 в 21:10

Вот если бы были доказательства,было бы гораздо легче.

Колпаков А.Н. апреля 13, 2012 в 0:02

Да! Со временем постараюсь опубликовать доказательства наиболее востребованных фактов и снабдить соответствующие страницы методическими комментариями в помощь репетиторам по математике.

Колпаков А.Н. апреля 13, 2012 в 0:02

Да! Со временем постараюсь опубликовать доказательства наиболее востребованных фактов и снабдить соответствующие страницы методическими комментариями в помощь репетиторам по математике.

Оставьте комментарий