Справочник репетитора по математике. Дополнительные теоремы планиметрии

На этой странице собраны теоремы планиметрии, которые репетитор по математике может использовать в подготовке способного ученика к серьезному экзамену: олимпиаде или экзамену в МГУ (в подготовке на Мехмат МГУ, ВМК), к олимпиаде в Высшей Школе Экономики, к олимпиаде в Финансовой Академии и в МФТИ. Знание этих фактов открывает перед репетитором большие возможности по составлению конкурсных задач. Достаточно «обыграть» какую-нибудь упомянутую теорему на числах или дополнить ее элементы несложными взаимосвязями с другими математическими объектами, и получится вполне приличная олимпиадная задачка. Многие свойства присутствуют в сильных школьных учебниках в качестве задач на доказательство и специально не выносятся в заголовки и разделы параграфов. Я постарался исправить этот недостаток.

Математика — необъятный предмет, а количество фактов, которые можно выделять как теоремы — бесконечно. Репетитор по математике не может физически знать и помнить все. Поэтому какие-то хитрые взаимосвязи между геометрическими объектами каждый раз открываются преподавателю заново. Собрать все их на одной странице сразу — невозможно физически. Поэтому я буду заполнять страницу постепенно, по мере использования теорем на своих уроках.

Советую начинающим репетиторам по математике быть осторожнее в использовании дополнительных справочных материалов, поскольку большинство этих фактов школьники не знают.

Репетитор по математике о свойствах геометрических фигур

1) Серединный перпендикуляр к стороне треугольника пересекается с биссектрисой противоположного ей угла на окружности, описанной около данного треугольника. Это следует из равенства дуг, на которые серединный перпендикуляр делит нижнюю дугу, и из теоремы о вписанном угле в окружность.

2) Если из одной вершины в треугольнике проведены биссектриса b, медиана m и высота h, то биссектриса будет лежать между двумя другими отрезками, а длины всех отрезков подчиняются двойному неравенству .

3) В произвольном треугольнике расстояние от любой его вершины до его ортоцентра (точки пересечения высот) в 2 раза больше расстояния от центра описанной около этого треугольника окружности до противоположной этой вершине стороны. Для доказательства можно провести через вершины треугольника прямые, параллельные его высотам. Затем использовать подобие исходного и полученного треугольника.

4) Точка пересечения медиан M любого треугольника (его центр тяжести) вместе с ортоцентром треугольника H и центром описанной окружности (точка O) лежат на одной примой, причем . Это следует из предыдущего свойства и из свойства точки пересечения медиан.

5) Продолжение общей хорды двух пересекающихся окружностей делит отрезок их общей касательной на две равные части. Это свойство верно независимо от характера этого пересечения (то есть от расположения центров окружностей). Для доказательства можно воспользоваться свойством квадрата отрезка касательной.

6) Если в треугольнике проведена биссектриса его угла, то её квадрат равен разности произведений сторон угла и отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону.

То есть имеет место следующее равенство

7) Знакома ли Вам ситуация, когда к гипотенузе проводится высота из вершины прямого угла? Наверняка. А знаете ли Вы, что все треугольники, которые при этом получаются подобны? Наверняка знаете. Тогда наверняка не знаете, что любые соответствующие элементы этих треугольников образуют равенство, повторяющее теорему Пифагора, то есть, например, , где и  — радиусы вписанных окружностей в малые треугольники, а  — радиус окружности, вписанной в большой треугольник.

8) Если вам попался произвольный четырехульник со всеми известными сторонами a,b,c и d, то его площадь можно легко посчитать по по формуле, напоминающей формулу Герона:
, где x – сумма любых двух противоположных углов четырехугольника. Если данный четырехугольника является вписанным в окружность, то и формула принимает вид :
и называется формулой Брахмагупты

9) Если ваш четырехугольник описан около окружности (то есть окружность в него вписана), то площадь четырехугольника вычисляется по формуле

10) Если четырехугольник одновременно является и вписанным и описанным (a+c=b+d), то предыдущая формула принимает совем простой вид: .

11) Биссектриса , проведенная в треугольнике ABC к сторона вычисляется по формуле , где b и с -две другие стороны, а  — угол между ними.

Комментарий репетитора:
Геометрия богата на красивые и эффектные комбинации фигур и их свойств. Жаль, что школьная программа не способна вместить в себя и трети того, что можно было бы рассказать. Замечу, что интересных планиметрических теорем значительно больше, чем алгебраических, но они труднее выявляются и быстро забываются. Почему забываются? Потому, что задачи на большинство из них носят весьма обособленный и штучный характер. Нет ничего страшного или странного в том, что репетитор по математике (чаще такое случается с начинающим репетитором) не знает каких-либо скрытых и глубоких взаимосвязей и теорем. Хорошим репетитором, как собственно и хорошим математиком, становятся не сразу. Необходима школа решения именно конкурсных задач.

Опытному репетитору, дабы не потерять квалификацию, я советую регулярно просматривать варианты олимпиад вне зависимости от состава текущих учеников. Прежде всего для поддержания соответствующего уровня развития. Заглядывайте в справочники и энциклопедии. Расширяйте свой кругозор и совершенствуйтесь! Для этого сделана данная страница!

При наличие дополнительных знаний геометрических фактов репетитор по математике окажет весомую помощь ученику в поиске быстрых решений. Например, такую помощь можно получить у меня в Строгино. В перспективе, при плотной работе с задачами это приведет к снижению времени на решение задачи С4 на ЕГЭ по математике. На ЕГЭ можно решать задачу любым правильным способом, даже с применением средств и свойств, не входящих в школьную программу (в том числе методами высшей математики).

С глубоким уважением, Колпаков А.Н.
Квалифицированный репетитор по математике. Строгино. м.Щукинская. Подготовка к любым видам экзаменов, а также к олимпиадам.