Свойства и приемы вычислений неопределенных интегралов. Справочник репетитора по математике

Виртуальная шпаргалка для занятий с репетитором по высшей математике. На этой странице представлены теоретические сведения, необходимые для решения задач по неопределенным интегралам: опеределение интеграла, его свойства, правила и приемы вычислений. Справочные материалы ориентированы на студентов первых курсов математических и технических ВУЗов, преподавателей и репетиторов по математическому анализу. Также они будут полезны школьникам, проявляющим повышенный интерес к предмету.

Репетитор по математике советует: если вы хотите воспользоваться этой страничкой для самообразования — вам потребуется знание таких тем как «производная» и «первообразная». Для понимания методов интегрирования, правил подстановок и преобразований в подитегральных выражениях — сначала изучите тему «дифференциал функции».

Справочник по высшей математике. Неопределенный интеграл и его свойства.

Определение: Неопределенным интегралом функции f (x) называется множество всех ее первообразных. Обозначается такое множество знаком \int f(x)dx .

Выражение f (x) dx называется подинтегральным выражением, а функция f (x) — подинтегральной функцией. Переменная x называется переменной интегрирования. Процесс поиска неопределенного интеграла называется интегрированием. На языке дифференциалов задача нахождения интеграла звучит так: найти функцию, дифференциал которой равен f (x) dx.

Свойства неопределенного интеграла:

1) Любая функция из множества всех первообразных отличается от любой другой из этого же множества на константу. Поэтому, если y=F(x) — первообразная для функции y=f(x), то \int {f(x)dx}=F(x)+c, где С- любое действительное число.

2) Любой числовой множитель можно вынести за знак интеграла, то есть:

Репетитор по математике он-лайн

3) Неопределенный интеграл суммы функции равен сумме их интегралов, то есть:

Репетитор по математике он лайнЭто свойство еще называют свойством аддитивности неопределенного интеграла.

4) Знак дифференциала, расположенный перед знаком неопределенного интеграла уничтожает последний, то есть:

Репетитор по математике он-лайн

5) Знак неопределенного интеграла, расположенного перед знаком дифференциала также уничтожает последний с точностью до произвольного постоянного слагаемого, то есть:

Репетитор по математике он лайн

6) Интегрирование по частям.
Всякое подинтегральное выражение можно бесчисленными способами представить в виде U \cdot dV , где функции U и V некоторые функции аргумента X)
Интегрированием по частям в неопределенном интеграле называется вычисление интеграла \int u dv через интеграл \int v duс помощью верного равенства:
Репетитор по математике он-лайн

7) О сведении одного неопределенного интеграла с другому с помощью замены переменной.

Если F (x) — какая-нибудь первообразная для функции f (x), то

Репетитор по математике он-лайн.Обоснование замены переменнойДанное равенство служит обоснованием правомерности замены переменной в неопределенном интеграле. Можно заметить, что два последних множителя в подинтегральном выражении представляют собой дифференциал внутренней функции g (x). Тогда, очевидно, что для получения первообразной, составляющей ответ в вычислении предыдущего интеграла достаточно заменить g (x) на t и проинтегрировать выражение с переменной t. Коротко это преобразование можно выразить следующим равенством:

Репетитор по математике оy-лайн. Техника интегрирования при замене переменнойЭта схема раскрывает суть техники интегрирования при замене переменной в неопределенном интеграле. Для нее необходимо выделение повторяющегося буквенного выражения (внутренней функции) даже под знаком дифференциала.

Виды замен и подстановок в неопределнном интеграле:

1) Тригонометрическая подстановка
Приеменяется для иррациональностей вида \sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2}, \sqrt{x^2-a^2} в том случае, когда подинтегральное выражение является алгебраической функцией этих выражений. Тогда используются следующие подстановки:
для \sqrt{a^2-x^2} применяется подстановка x=aSint
для \sqrt{a^2+x^2} применяется подстановка x=atgt
для \sqrt{x^2-a^2} применяется подстановка x=\frac{a}{cost}

2) Подстановка Эйлера.
Интегралы вида \int {R(x, \sqrt{ax^2+bx+c})dx}сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью одной из подставновок Эйлера:
Первая подстановка Эйлера:
применима при a>0 и имеет вид: t=\sqrt{ax^2+bx+c}+x\sqrt{a}
Вторая подстановка Эйлера
применима при c>0 и имеет вид: \sqrt{ax^2+bx+c}=tx+\sqrt{c}
Третья подстановка Эйлера:
применима когда трехчлен \sqrt{ax^2+bx+c}имеет действительные корни, и, в частности если a<0. Она имеет вид: t=\sqrt{\dfrac{a(x-x_1}{x-x_2}}

Репетитор по математике о применении подстановок Эйлера:
В первой подстановке можно заменить знак плюс на знак минус перед x\sqrt{a}. Это ничего не изменит. На практике для вычислений неопределенного интеграла хватает первой и третьей подстановки. Ими описываются все случаи. В некоторых справочниках вторая подстановка вообще не упоминается, что часто путает изучающих высшую математику. Я точно не знаю почему Эйлер дал своим подстановкам такие непоследовательные номера. Возможно в этом порядке они были открыты.

3) Интегралы от тригонометрических функций.
Если подинтегральное выражение представляет собой рациональную функцию синусов и косинусов одного аргумента R (Sinx,Cosx), то применяется подстановка t=tg\frac{x}{2}

Комментарий репетитора по математике относительно изучения темы «первообразная и интеграл» в школе.

Изучение множества всех первообразных функции, по сути, есть ни что иное, как изучение неопределенного интеграла. Разница между школьной программой и высшей математикой лишь в том, как это множество обозначается. В школьных программах сам общий вид (формула)первообразных F (x)+c служит обозначением этого множества. Во взрослой математике прибегают к обозначают через знак интеграла. Репетитор по математике не должен пользоваться символикой высшей школы даже в работе с сильным учеником. Всему свое время.

Почему знак неопределенного интеграла не используется в работе со старшеклассниками? На мой взгляд причина только в ограниченном изучение методов интегрирования. Приемы интегрирования, применяемые в высшей математике, используют неразрывную связь интеграла и дифференциала, расположенного под его знаком. Требуется понимание производимых операций с дифференциалами, при понимании которых преобразования можно вести в одну строчку, как при тождественных. В силу ограниченности изучаемых приемов интегрировани в школе, нахождение первообразных производится в одну операцию и всего-лишь по одному из трех правил. В этом случае ответ удается записать сразу, не прибегая к занесению множителя под знак дифференциала, не прибегая к сведению одного интеграла к другому и не прибегая к различным подстановкам.

Колпаков А.Н, репетитор по математике в Москве. Профессиональный репетитор по математике в Строгино, м.Щукинская

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий