Теорема синусов

Репетитор по математике о теореме синусовПервая часть теоремы: стороны произвольного треугольника пропорциональный синусам противоположных углов, то есть: \dfrac{a}{SinA}=\dfrac{b}{SinB}=\dfrac{c}{SinC}

Вторая часть теоремы: каждая дробь равна диаметру окружности, описанной около данного треугольника, то есть: \dfrac{a}{SinA}=\dfrac{b}{SinB}=\dfrac{c}{SinC}=2R.

Комментарий репетитора по математике: использование второй части теоремы синусов закладывается чуть ли не в каждой второй конкурсной задаче на окружность. Почему? Дело в том, что равенство \dfrac{a}{SinA}=2R позволяет находить радиус окружности имея в наличие только два элемента треугольника. Это очень часто используют составители сильных задач, которые специально так подбирают условие, чтобы никакие другие элементы треугольника (и всего рисунка) не находились бы вообше! «Картинка» при этом будет плавующей. Это обстоятельство сильно усложняет работу на экзамене, ибо не дает возможность действовать в обход заложенному свойству.

Доказательство теоремы синусов:

по учебнику Атанасяна
Докажем, что для любого треугольника со сторонами a, b, c и противолежащими углами A, B и С выполняется равенство: aSinC=cSinA.
Проведем высоту BH из вершины В. Возможны два случая:
1) Репетитор по математике. Доказательство теоремы синусов Точка H лежит на стороне AC (это возможно когда \angle A и \angle C — острые).
По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике ABH запишем SinA=\frac{BH}{c} \implies BH=c \cdot SiA.

Аналогично в треугольнике CBH имеем SinC=\frac{BH}{a} \implies BH=a \cdot SinC. Приравнивая выражения для BH друг к другу получим: aSinA=cSinC
2)Репетитор по математике. Док-во теоремы синусов для тупого угла Пусть H лежит на продолжении стороны AC (например слева от А). Это произойдет, если \angle A – тупой. Аналогично по определению синуса острого угла А в треугольнике ABH запишем равенство Sin \angle BAH = \frac{BH}{c}, но так как синусы смежных углов равны, то заменив в этом равенстве Sin \angle BAH на Sin A, получим BH=c \cdot SinA как и в первом случае. Поэтому независимо от величин углов А и С равенство a\cdot Sin A = b\cdot Sin B верное.
После деления обеих его частей на a \cdot b получим \dfrac{a}{SinA}=\dfrac{c}{SinC} . Аналогично доказывается равенство второй пары дробей \dfrac{b}{Sin B}=\dfrac{c}{SinC}

Доказательство теоремы синусов по учебнику Погорелова:

Применим формулу площади треугольника для двух углов A и C:
S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot cbSinA
S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot abSinC
После приравнивания правых частей и сокращения на \frac{1}{2} \cdot b получим тоже самое равенство aSinC=cSinA, как и в доказательстве первым способом. Из него тем же путем получаем равенство дробей.

Доказательство второй части теоремы синусов:

Репетитор о теореме синусов Опишем около данного треугольника окружность и через В проведем ее диаметр BD. Так как углы D и C опираются на одну дугу, то они равны (следствие из теоремы о вписанных углах). Тогда \dfrac{c}{SinC}=\dfrac{c}{SinD}. Применим в треугольнике ABD определение синуса угла D: SinD=\dfrac{c}{2R}\implies \dfrac{c}{SinC}=2R Что и требовалось доказать.

Задачи на вторую часть теоремы синусов:
1) В окружность радиуса 15 вписана трапеция. Длины диагонали и высоты трапеции соответственно равны 20 и 6. Найти боковую сторону.
2) Радиус окружность, описанной около трапеции, равен 25, а косинус ее тупого угла равен -0,28 (минус!!!). Диагональ трапеции образует с основанием угол 30^\circ. Найти высоту трапеции.
3) В окружность радиуса 10 вписана трапеция. Длины диагонали и средней линии трапеции соответственно равны 15 и 12. Найти длину боковой стороны трапеции.
4) Олимпиада в Финансовой академии 2009г. Хорды окружности пересекаются в точке Q. Известно, что \angle MQK=90^\circ, а радиус окружности равен 4см. Найдите длину хорды PN. Олимпиада в Финансовой академии 2009г.
5) В треугольнике PST \angle S=120^\circ. Вокруг точки пересечения его биссектрис и вершин P и T описана окружность с радиусом 8см. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника PST (авторская задача).

Детально разобрать теорему синусов и получить необходимую практику ее использования в задачах вам всегда поможет репетитор по математике. Ее плановое школьное изучение происходит в курсе геометрии 9 класса в теме решение треугольников (по всем программам). Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике для сдачи экзамена не менее чем на 70 баллов — придется тренироваться в решении крепких планиметрических задач с номеров С4. В них теорему синусов часто применяют к вписанным треугольникам учитывая соотношение \dfrac{a}{SinA}=2R. Помните об этом!

С уважением, Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике

{ 4 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Teo июля 18, 2012 в 16:18

Спасибо репетитору! После этого урока понял эту теорему синусов!

Боб декабря 9, 2013 в 20:37

О! Наконец разжеванное объяснение. Бьюсь об эту тему уже месяц, начались проблемы с оценками. Слава Богу, хоть сдвинулся с точки отсчета. Теперь будет легче, тем более что задали презентацию по этой теме :)

Колпаков А.Н. декабря 10, 2013 в 0:30

Я всегда разжеванно объясняю. Всем ученникам, даже способным. Иначе репетитору по математике не оправдать возложенных на него надежд. А на сайте стараюсь давать объяснения, максимально приближены к живым.

Бобжек Теоманович июня 4, 2014 в 20:00

Спасибо, помогло, доказательство простое))

Оставьте комментарий