Теория для подготовки к ЕГЭ по математике. Виртуальный репетитор задачи B8

Для успешного выполнения задания B8 на ЕГЭ потребуются отдельные (элементарные) знания из курса математического анализа, связанные с производной, экстремумами, наибольшими и наименьшими значениями функций, а также навыки чтения графиков. Если с Вами сотрудничает репетитор по математике сравнительно недавно или подготовка к ЕГЭ проходит самостоятельно – прочтите материалы этой страницы. Она содержит ценные теоретические факты за 10 — 11 класс и советы репетитора, необходимые для решения самой распространенной задачи B8: поиск значения производной в указанной точке x_0 по изображенной на рисунке касательной.

Что такое Касательная?
Касательной к графику функции в точке x_0 , называется прямая, проходящая через точку M(x_0;f(x_0) и имеющая угловой коэффициент f. Ее уравнение выглядит следующим образом: y=f
Угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла, который она образует с положительным направлением оси Ох, поэтому f. Различные варианты угла наклона касательной показаны репетитором по математике на рисунках 1 и 2:
Угол наклона касательной. Иллюстрация репетитора по математике

Замечание репетитора: Не выделения и поиска этого угла совсем не обязательно использовать именно ось Ох. Ее можно заменить на любую горизонтальную прямую. Одна из таких прямых а показана на рисунке синим пунктиром.

Для нахождения числа f по данным рисунка (в реальной задачи B8 на ЕГЭ) можно воспользоваться правилом поиска тангенса угла А. Для этого можно построить удобную ступеньку под касательной — прямоугольный треугольник с вершинами в выделенных точках — узлах клеток (эти точки Вам укажут на ЕГЭ маленькими жирными кружочками). Их выделение говорит о том, что касательная проходит через узлы клеток. Проведите через нижнюю точку прямую, параллельно оси Ох (иксу), а через верхнюю – параллельную оси Оy (игреку). Образуется прямоугольный треугольник NPK (рис 3 и 4) с гипотенузой, лежащей на касательной. Один из его углов (а именно угол PNK) имеет тангенс, равный (рис 3) или противоположный (рис 4) искомому тангенсу красного угла наклона касательной (то есть числу f). Выделим 2 вида ступенек. Они показаны репетитором по математике на рисунках 1 и 2:
Подготовка к ЕГЭ. Cтупеньки репетитора по математике

На рисунке 3 — касательная возрастает. Угол наклона попадает в ступеньку (она выделена болотным цветом).
На рисунке 4 показана убывающая касательная. В этом случае искомый красный угол не попадает в ступеньку и является углом, смежным с углом PNK. Так как тангенсы смежных углов отличаются только знаками, Вам будет достаточно найти tg PNK и моменять у него знак на «минус».

Для поиска тангенса угла PNK нужно разделить длину вертикального отрезка ступеньки (отрезка KP) на длину горизонтального отрезка ступеньки (отрезка NP).

В случае рисунка 3: f
В случае на рисунка 4: f

Кроме метода ступенек можно воспользоваться общей формулой поиска тангенса угла прямой NK, заданной координатаме ее точек N(x_1;y_1) и K(x_2;x_2).

tgP=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Cравните результат, полученной по этой формуле с теми ответами, которые Ваш виртуальный репетитор получил в случае с рисункамим 3 и 4. Формулой удобно пользоваться в нетипичных для ЕГЭ случаях, когда выделенные точки касательной даны в виде чисел (дробных или очень больших координат). Тогда задание можетт быть вообще сформулировано через текст, например: найдите значение производной в точке x_0, если NK — касательная в этой точке и N (0,85;0,3) и K (0,45;-0,9).

tgP=\dfrac{-0,9-0,3}{0,45-0,85}=\dfrac{-1,2}{-0,4}=3
Спасибо за урок!

Репетиторам

: Я намеренно оформил объяснения так же подробно, как бы они прозвучали на уроке с живым репетитором по математике и средним / слабым учеником. Некоторые аспекты объяснений можно корректировать в зависимости от уровня подгогтовки конкретного учащегося. В случае работы с очень слабым выпускником — нужно отдельно остановиться на переносе угла от оси абсцисс к выделенной синим пунктиром прямой а.

Страничку с примерами объяснений экстремумы я постараюсь оформить в ближайшее время. Ищите ее на той же странице подготовка к ЕГЭ по математике.

Использование аналогий.:
Слово «ступенька» — отличный ориентир для слабого ученика, которому никак не удается самостоятельно повторить построения репетитора. Если математика у него находится в плачевном состоянии, репетитору можно посоветовать чаще обращаться к ярким образам и точным сравнением изучаемых процессов и объектов с реальными. Расположение треугольника PNK относительно касательной действительно напоминает ступеньку. Если ученик все равно теряется в ее посторениях, репетитор по математике дает отдельные задания на лестницу:
Лестница репетитора по математике - отдельное задание для B8

Можно убрать линию графика вместе с осями и, распределив несколько точек (углов степенек) на касательной, попросить эти ступеньки достроить. Практика показывает, чтот простроение всей лестницы проходит быстрее, чем отдельного ее кусочка. Еще можно сравнить этот рисунок с пилой.

график и может даже предложить отдельное задание на изображение ступенек без графика функции даже при сравнении его со ст упнькой помогут ученику вспомнить дополнительные постоения к задаче B8 на реальном ЕГЭ.

Репетитор по математике А.Н. Колпаков. Москва. Строгино

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

Алексей июня 1, 2015 в 22:47

Объяснение супер! До этого не понимал как решить это задание. Из-за этого я иду в ВПЛ :( Но надеюсь у меня получится! Спасибо репетитору по математике за столь четкое объяснение!

Оставьте комментарий