Виртуальный репетитор по математике: cтереометрия

Эта страница создана для учащихся 10 — 11 классов и абитуриентов, кого интересует качественная подготовка к ЕГЭ по математике в виртуальном он-лайн режиме. Многие школьники испытывают серьезные проблемы с решением задач по стереометрии (в новой спецификации ЕГЭ 2012 года это номера 9, B11 и С2) и почти всегда нуждаются в квалифицированной помощи профессионального преподавателя. Для многих из них фраза репетитор по математике ассоциируется с реальными занятиями, однако не все могут позволить себе нанять хорошего репетитора. Для этой категории учащихся сайт предоставляет возможность получить отдельные он-лайн консультации по вопросам решения различных задач (как с ЕГЭ, так и с традиционных контрольных работ).

Регулярно просматривайте опубликованные учебные материалы, изучайте решения задач, вникайте в доказательства, и задавайте репетитору по математике любые вопросы по стереометрии через специальную приведенную ниже форму. Их спектр не ограничивается только одними задачами подготовки к ЕГЭ по математике и распространяется на любые темы по стереометрии 10 — 11 класс: призмы, пирамиды, тела вращения, объемы, площади поверхностей, доказательства теорем, правила для нахождения углов между стереометрическими объектами, растояний, вектора, элементы аналитической геометрии и многое другое. Кроме меня оформлением решений занимаются мои коллеги — репетиторы по математике и физике, которых я лично знаю и держу их анкеты в базе репетиторов сайта. Если вы сами репетитор по математике и хотите принять участие в он-лайн решениях — укажите при регистрации те страницы, которые вы хотели бы курировать.

Задача для репетитора по математике от Катерины.
Имеется правильная усеченная четырехугольная пирамида. Ее стороны оснований равны 4 , а боковое ребро с большим основанием образует угол в 45 град. Найдите площадь диагонального сечения пирамиды.


Решение репетитора (Колпаков А.Н.)
Напомню, что пирамиду называют правильной, когда в основании у нее лежит правильный многоугольник (в нашем случае — квадрат), а основание O высоты является его центром (точкой пересечения диагоналей). Если усеченная пирамида получена из правильной, то она тоже называется правильной. Идеально, если на рисунке репетитор по математике изображает усеченную пирамиду вместе с обычной. Как репетитор по математике изображает усеченную пирамиду В этом случае ее удобнее строить и легче проводить обоснования используемых свойств. Эти обоснования опустим, считая их известными, а именно: 1) диагональное сечение BNQD — равнобедренная трапеция, 2) угол между боковым ребром QD и основанием ABCD — это угол данной трапеции, то есть \angle BDQ. Поэтому согласно условию\angle BDQ=45^\circ . Основания трапеции — диагонали квадратов ABCD и MNPQ. Применим свойство о том, что диагональ квадрата в \sqrt{2} раз больше его стороны и получим, что NQ=4\sqrt{2}, BD=6\sqrt{2} (аналогичные результаты можно получить при помощи теоремы Пифагора). Осталось вычислить площадь трапеции (диагональное сечение BNQD): ее удобнее вынести из стереометрического рисунка и изобразить в «полный рост»: трапеция в полный рост
Для нахождения площади необходимо выяснить длину отрезка QK (высота трапеции). Проведем вторую высоту NH. Получим BH=KD=\dfrac{6\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}. Так как \triangle QKD  — прямоугольный с углом \angle QDK= 45^\circ, то и второй его угол \angle KQD = 45^\circ \implies \triangle QKD  — равнобедренный \implies QK=KD=\sqrt{2}. Тогда S_{BNQD}=\dfrac{NQ+BD}{2} \cdot QK=\dfrac{4\sqrt{2}+6\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{2}=10

Вопрос репетитору по математике от Татьяны.
Здравствуйте. Как можно решать такую задачу? В правильной треугольной пирамиде SABC M-середина ребра BC, S-вершина. Известно, что SM=7, а площадь боковой поверхности равна 63. Найти длину AB.


Решение репетитора (Колпаков А.Н.)Пирамида. Рисунок репетитора по математике для Татьяны Применим формулу, вычисляющую площадь боковой поверхности S_0 правильной пирамиды (она верна для любых пирамид с равными апофемами): S_0=p \cdot h , где p — полупериметр основания пирамиды, а h-ее апофема. Поскольку наша пирамида является правильной и стороны ее основания равны, то p=\frac{3AB}{2}. Подставляя в указанную формулу значение площади, равное 63 и указанное выражение для полупериметра основания, получим:


63= \frac{3AB}{2} \cdot 7 или


63= \frac{21}{2} \cdot AB , откуда находим


AB=63:\frac{21}{2}=6


Ответ: AB=6.

Задача Алены.
Через сторону AD ромба проведена плоскость альфа, удалённая от BC на расстоянии 3 корня из 3 (см). Сторона ромба — 12 см, угол BCD равен 30 град. Найдите угол между плоскостью ромба и плоскостью альфа.
Решение и рисунок репетитора по математике для Алены
Рисунок репетитора по математике для АленыВосстановим из точки B перпендикуляр к альфа и пусть К — его точку пересечения с альфа (см.рисунок). В плоскости ромба проведем высоту BH и соединим ее точку H с точкой K. Тогда по теореме о 3-х перпендикулярах KH перепндикулярна AD. Плоскость BHK будет перпендикулярна линии пересечения интересующих нас плоскостей, а также самим плоскостям (по признакам перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей). Поэтому \triangle BHK  — линейный угол двугранного угла между ромбом и альфа. Расстояние от B до альфа — есть перпендикуляр BE, лежащей в плоскости BKH (доказательство этого факта я пропускаю). Остается найти \angle BHK в треугольнике BHK. Для этого через треугольник ABH найдем BH = AB \cdot Sin 30^\circ = 12\cdot 0,5 = 6. В итоге Sin(BHK)=\dfrac{BE}{BH}=\dfrac{3\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \implies \angle BHK = 60^\circ

Вопрос репетитору по математике от Светланы

Как построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через три точки, лежащих на взаимно скрещивающихся ребрах? Спасибо.

Решение: Рассмотрим параллелепипед ABCDMNKP и точки H,E и F, принадлежащие скрещивающимся ребрам. Для построения таких сечений (плоскостью HEF) необходимо построить вспомогательную плоскость AHEQ, в которой EQ \perp (ABCD) Вспомогательная плоскость репетитора по математике В этой плоскости проводим HE до пересечения с продолжением AQ в точке S. Соединяем S и F, пересекая AD в точке T. Полученная точка T лежит с F в одной грани основания. Далее действуем стандартно (репетитор по математике предполагает, что дальнейшее построение сечения — дело техники и не вызовет особых проблем). Достаточно пересечь FT с продолжением BC и замкнуть таким образом контур сечения. Вы можете кликнуть на фотографию для ее увеличения.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий