Виртуальный репетитор по математике: решение неравенств. Для подготовки к ЕГЭ и ГИА

Здесь Вы сможете посмотреть решения алгебраических и иррациональных неравенств, а также найти ответы на вопросы, которые Вы отсылали репетитору математики. Сюда входят линейные, квадратные неравенства, неравенства с с высокими степенями, с модулями и корнями разных степеней. Простейшие из них, как правило, являются составной часть более сложных задач выпускных (вступительных) экзаменов и обязательно затрагиваются репетитором по математике при подготовке к ЕГЭ (часть «С»). Я надеюсь вы не станете загружать преподавателя элементарнейшими заданиями и основной контент страницы составят номера среднего или высокого уровня сложности, соответствующие программе математических классов и стандарту ГИА . Для тригонометрических и логарифмических неравенств организуются отдельные страницы.

Вопрос от Светланы: Здравствуйте, Александр Николаевич! Проконсультируйте, как правильно решить неравенство:задание репетитору математики Ответ нужно записать с помощью скобок и назвать промежуток.

Репетитор по математике А.Н. Колпаков:
Репетитор по математике Александр КолпаковТакие неравенства решаются двумя способами. Можно раскрыть модуль в самом начале решения и получить две системы, или ввести новую переменную. Второй вариант предпочтительнее, ибо сводится к меньшему количеству дробных неравенств, а именно к одному единственному. Так и поступим. Обозначим повторяющееся выражение |x| новой буквой t и решим исходное неравенство относительно этой новой переменной. Итак, пусть |x|=t, тогда неравенство примет вид:
Репетитор по математике выполнил замену переменнойПеренесем слагаемые их правой части в левую и после приведения дробей к общему знаменателю, получим:

\dfrac{-2-t^2+2t-t+2}{t+1} \geqslant 0 \implies \dfrac {-t^2+t}{t+1} \geqslant 0 \implies \dfrac {-t(t-1)}{t+1} \geqslant 0

Последнее неравенство можно решить методом интервалов:

нули числителя t_1=0, t_2=1; нули знаменателя t_3=-1. Для расстановки знаков на промежутках достаточно найти значение функции f(x)=\dfrac{-t(t-1)}{t+1} в пробной точке, например при t=2. Несложно убедиться, что f (2)<0 \implies в правом промежутке имеем знак минус. Так как степени всех линейных скобок и в числителе и в знаменателе равны 1, то знаки на промежутках чередуются. Их итоговое распределение показано на рисунке:
Иллюстрация к методу интервалов
Нас интересуют промежутки t \in (-\infty;-1) \cup [0;1] . Это промежуточный ответ для переменной t.

Вернемся к переменной x:
|x|< -1 или 0 \leqslant |x| \leqslant 1
Первое неравенство не имеет решений, а второе равносильно условию |x| \leqslant 1 . Используя опрeделение модуля, как расстояние от числа до начала отсчета, получим ответ x \in [-1;1] . Итак, в ответе получен отрезок от минус единицы до единицы.

Вопрос от Полины: нужно решить 2|x-1|-3|x|=1. Помогите, для меня модули — это кошмар!!!

Репетитор по математике, Руслан Галкин:
Репетитор по математике Руслан Галкин Ничего кошмарного в модулях нет. Решим Ваше уравнение самым обычным методом — разбором случаев. Нужно поискать корни уравнения на каждом из трех кусочков числовой оси. Для этого требуется рассмотреть три случая:


Cлучай 1. Пусть x \geqslant 1 . При этом условии под каждый модулем получится неотрицательное число \implies на этом промежутке уравнение равносильно системе:
Решение репетитора по математике неравенства с модулем. Случай 1 (2)Решая уравнение, приходим к корню x=-3, который не удовлетворяет условию x \geqslant 1 .

Случай 2. Пусть 0 \leqslant x<1. Тогда первое подмодульное выражение даст отрицательное значение и поэтому его можно будет заменить на 2 (1-x). Получаем систему:
Решение репетитора по математике неравенства с модулем. Случай 2Корнем нижнего уравнения оказывается x=\frac{1}{5} , очевидно удовлетворяющий второму условию системы. Поэтому мы включаем его в ответ.

Cлучай 3. Пусть x<0 Тогда, очевидно оба выражения примут отрицательные значения. Поменяв знак у каждого, получим:
Решение репетитора по математике. Случай 3Ответом этой системы будет x=-1. В итоге в ответ идут два числа: x_1=\frac{1}{5} и x_2=-1.

Вопрос репетитору по математике от Златы. Помогите доказать неравенство \dfrac{a}{a^4+b^2} + \dfrac{b}{b^4+a^2} \leqslant \dfrac{1}{ab} для всех положительных а и b.

Решение от Колпакова А.Н.
Не стоит пытаться складывать дроби. Поступим так: сравним каждую из дробей левой части с половинкой правой, то есть докажем, в первом случае, что \dfrac{a}{a^4+b^2} \leqslant \dfrac{1}{2ab}. Для этого умножим обе его части на общий положительный знаменатель 2ab(a^4+b^2) и получим равносильное неравенство 2a^2b \leqslant a^4+b^2. Его верность становится очевидной после переноса удвоенного произведения из левой части в правую и выделения там полного квадрата, а именно 0 \leqslant (a^2-b)^2. Аналогично доказывается, что \dfrac{b}{b^4+a^2} \leqslant \dfrac{1}{2ab}. Сложив эти неравенства друг с другом получим исходное, которое и требовалось доказать.

Вопрос репетитору математики по неравенствам

  • Адрес Вашей электронной почты
  • Вы можете изнать у репетитора решение любой школьной или даже ВУЗовской задачи, доказательство известного или редкого факта по элементарной или высшей математики, попросить объяснить отдельные элементы каких-либо алгоритмов или правил. Справшивайте!
  • Если Вам не удается в текстовом формате изложить суть вопроса - пришлите его картину. Принимаются файлы jpg, gif, pdf

Самостоятельная подготовка к ЕГЭ по математике (в том числе и подготовка к ГИА) несет в себе огромное количество вопросов, сложностей и учебных препятствий. Если под боком нет хорошего преподавателя, то процесс подготовки, обычно, затягивается. Ученик может зависнуть с одним номером на неделю и даже больше. Если такое происходит -сохраните ссылку на сайт «профессиональный репетитор по математике» и в случае необходимости просто оформите вопрос по интересующей теме. Вам постараются ответить в ближайшее время. Оформить заявку на помощь можно главной странице вопросов, а так же на любой тематической странице.

Я специально публикую решение, а не ограничиваюсь краткими указаниями в приватном режиме. Почему? На страницах сайта есть возможность его оформить визуально точно и аккуратно. Кроме этого публикация несет в себе еще и общую учебную функцию. Кроме Вас ЕГЭ и ГИА по математике сдают тысячи школьников. Им тоже интересно узнать решения типовых и конкурсных задач.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике он-лайн, Москва.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий