Задача С4 (планиметрия) с ЕГЭ по математике 2013г.

Продолжаю баловать своих посетителей аккуратно оформленными решениями задач с последнего ЕГЭ по математике. Дошла очередь до номера С4, который на удивление всей команды моих репетиторов оказался очень и очень простым. Читайте, задавайте свои вопросы внизу страницы. Если чувствуете недостаток в понимании хода рассуждений или вычислений — приглашайте хорошего репетитора по математике для диагностики и устранения накопившихся пробелов. Все этапы решения показаны развернутом виде, каждый шаг обоснован и максимально комфортно и подробно расписан.

Задача С4 (ЕГЭ 2013г)
Две окружности с центрами O_1 и O_2 и радиусами 3см и 9 см (соответственно) касаются в точке А. Прямая m вторично пересекает первую окружность с радиусом 3см в точке B и вторую (с радиусом 9см) в точке С. Найдите S_{BCO_2}, если \angle B = 30^\circ

Решение репетитора по математике в двух случаях

Условие задачи предполагает 2 варианта рисунка и, соответственно, 2 решения ( с разными ответами) в зависимости от типа касания: внешнее или внутреннее. Разберем каждый случай в отдельности.

Внешнее касание

(Cм. рисунок репетитора):
Рисунок репетитора по математике - внешнее касание

Рассмотрим треугольник BO_1A. Он равнобедренный так как 0_1A=O_1B (радиусы окружности). По свойству углов при его основании получаем, что \angle O_1AB = \angle B = 30^\circ \implies \angle O_1 = 120^\circ

По теореме косинусов в \triangle 0_1AB:

AB=\sqrt{O_1B^2+O_1A^2-2 \cdot O_1B\cdot O_1A \cdot Cos \angle O_1} =

=\sqrt{9+9-18\cdot Cos 120^\circ}=\sqrt{18-18\cdot \left ( -\dfrac{1}{2}\right )}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}

Треугольники 0_1AB и 0_2AC подобны по двум углам (их углы при

основании равны) \implies \dfrac{O_1A}{O_2A}=\dfrac{AB}{AC}\implies \dfrac{3}{9} = \dfrac {3\sqrt{3}}{AC} \implies

\implies AC =\dfrac{9 \cdot 3\sqrt{3}}{3} =9 \sqrt{3}

Для поиска площади треугольника BCO_2 воспользуемся известной формулой S=\dfrac{1}{2}xySinC , где \angle C  — угол между сторонами x и y треугольника.

Применительно к нашему трегольнику BCO_2 она приобретает следующий вид:

S_{BCO_2} = \dfrac{1}{2}BC\cdot O_2C \cdot Sin C = \dfrac{1}{2}(AB+AC)\cdot O_2C \cdot Sin C =

= \dfrac{1}{2} (3\sqrt{3} + 9\sqrt{3})\cdot 9 \cdot Sin 30^\circ =

=\dfrac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 9 \cdot Sin 30^\circ = 27\sqrt{3}

Внутреннее касание

Рисунок репетитора по математике к С4 - внутреннее касание
Ход решения в этом случае очень близок к первому. Разница заключается лишь в том, что для поиска длины отрезка BC теперь потребуется вычесть длины отрезков AC и AB.

Аналогично находим, что AB=3\sqrt{3}. Также имеем подобие треугольников O_1AB и O_2AC (по двум углам) и также AC=9\sqrt{3}.

BC=AC-AB=9\sqrt{3} - 3\sqrt{3}=6\sqrt{3}

S_{BCO_2} = \dfrac{1}{2}BC\cdot O_2C \cdot Sin C = \dfrac{1}{2} 6\sqrt{3} \cdot 9 \cdot Sin 30^\circ = \dfrac{27\sqrt{3}}{2}

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий