Задача С4 (планиметрия) с ЕГЭ по математике 2013г.

Продолжаю баловать своих посетителей аккуратно оформленными решениями задач с последнего ЕГЭ по математике. Дошла очередь до номера С4, который на удивление всей команды моих репетиторов оказался очень и очень простым. Читайте, задавайте свои вопросы внизу страницы. Если чувствуете недостаток в понимании хода рассуждений или вычислений — приглашайте хорошего репетитора по математике для диагностики и устранения накопившихся пробелов. Все этапы решения показаны развернутом виде, каждый шаг обоснован и максимально комфортно и подробно расписан.

Задача С4 (ЕГЭ 2013г)
Две окружности с центрами и и радиусами 3см и 9 см (соответственно) касаются в точке А. Прямая m вторично пересекает первую окружность с радиусом 3см в точке B и вторую (с радиусом 9см) в точке С. Найдите , если

Решение репетитора по математике в двух случаях

Условие задачи предполагает 2 варианта рисунка и, соответственно, 2 решения ( с разными ответами) в зависимости от типа касания: внешнее или внутреннее. Разберем каждый случай в отдельности.

Внешнее касание

(Cм. рисунок репетитора):

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный так как (радиусы окружности). По свойству углов при его основании получаем, что

По теореме косинусов в :

Треугольники и подобны по двум углам (их углы при

основании равны)

Для поиска площади треугольника воспользуемся известной формулой , где  — угол между сторонами x и y треугольника.

Применительно к нашему трегольнику она приобретает следующий вид:

Внутреннее касание

Ход решения в этом случае очень близок к первому. Разница заключается лишь в том, что для поиска длины отрезка BC теперь потребуется вычесть длины отрезков AC и AB.

Аналогично находим, что . Также имеем подобие треугольников и (по двум углам) и также .