Задать репетитору по математике вопрос по предмету

Вопрос от Даши. Здравствуйте! Помогите решить задачку с олимпиады по математике для 5 — 6 кл: Из 27 монет одна монета фальшивая, она легче остальных. Можно ли найти ее за три взвешивания на чашечных весах?

Репетитор по математике. Решение задачи.Да, можно. Разобьем все 27 монет на 3 кучки по 9 монет в каждой. Произвольно взвесим какие-нибудь две из них. Если весы будут в положении равновесия, значит фальшивая монетка в последней кучке. Если одна чаша весов перевесит, следовательно, фальшивая монета в той, что легче. В любом случае за одно взвешивание определяем, в каком наборе из 9 монет находится наша фальшивая монета. Итак, у нас осталось 2 взвешивания и 9 монет вместе с фальшивой. Снова разобьем их на 3 кучки, но уже по 3 монеты в каждой. И снова за одно взвешивание теми же действиями можно выяснить, где именно спряталась легкая монета. В итоге у нас остается одно взвешивание и 3 монеты вместе с фальшивкой. Повторим алгоритм разделения на три кучки еще раз (по одной монете) как в двух предыдущих случаях и можно праздновать победу.

Комментарий репетитора по математике: справедлива общая теорема о минимальном количестве взвешиваний. Если среди m монет только одна фальшивая (более легкая) и $3^{n-1}+1 \leqslant m \leqslant 3^n$ , то минимальное количество взвешиваний для выявления более легкой монеты равно n.

Вопрос репетитору от Максима: Здравствуйте! Помогите мне решить задачу: внуку столько месяцев, сколько лет бабушке, а вместе им 78 лет. Сколько лет внуку и сколько лет бабушке?

Метод решения. Будем измерять возраст внука и возраст бабушки месяцами. Пусть $x$ месяцев — возраст внука, тогда бабушке $12x$ месяцев. Им вместе $78 \cdot12$ месяцев. Нетрудно догадаться, что уравнение получится такое: $x+12x=78 \cdot12$ . Решая его, получим $x=72$ . Значит внуку $72:12=6$ лет, а бабушке 72 года.

Вопрос для репетитора по математике от Александра Боровика: Здравствуйте! Срочно нужна помощь репетитора. Не могу справиться с задачей теории вероятности: В футбольной команде 20 человек, из них 8 не старше 20 лет. На матч вышли 11 человек. Какова вероятность того что среди них 5 футболистов не старше 20 лет?

Решение: Условимся называть футболистов не старше 20 лет — футболистами типа А, остальные будем именовать — футболистами типа В. Вычислим вероятность напрямую, по определению. Вероятностью события называется отношение количества благоприятствующих исходов к количеству всех исходов. Найдем сколькими способами можно из 20 футболистов выбрать 11 человек на игру. Это число равно $C_{20}^{11}=167960$ . Теперь найдем сколькими способами без учета порядка можно набрать 11 человек, среди которых будет ровно 5 футболистов типа А. Для этого узнаем сколькими способами можно выбрать 5 футболистов типа А из 8 таких же. Это число равно количеству сочетаний $C_{8}^{5}=56$ . Далее важно понять, что каждый такой набор должен укомплектоваться шестью футболистами типа В. А таких вариантов (комплектов) существует $C_{12}^6 =924$ штуки. Количество способов, которыми можно собрать всю команду с пятью футболистами типа А, равно $C_{8}^{5} \cdot C_{12}^6$ . Находя отношение числа благоприятствующих вариантов к числу всех вариантов, получим: P (события)= $\dfrac{C_{8}^{5} \cdot C_{12}^6}{C_{20}^{11}}=\dfrac{56\cdot924}{167960}=\dfrac{6468}{20995}$

Вопрос репетитору от Кристины: Как найти 2 натуральных числа,если их разность равна $66$ , а наименьшее общее кратное равно $360$ ? Какой будет ответ? Очень нужно, пожалуйста!Ответ репетитора по математике : $90$ и $24$ .

Подробное решение. Пусть $x$ — первое число, тогда $x+66$ — второе. Мы знаем, что НОК $(x,x+60)=360$ ,тогда $360 \cdot$ НОД $(x;x+66)=x(x+66)$ . Здесь мы воспользовались свойством о произведении наименьшего кратного двух чисел и их наибольшего общего делителя (оно равно произведению самих чисел). Так как левая часть последнего равенства делится на $6$ , следовательно и правая часть делится на $6$ , поэтому $x^2$ делится на $6$ . Отсюда следует, что в разложении числа $x$ на простые множители есть простые числа $2$ или $3$ , поэтому $x$ делится на $6$ . Тогда число $x$ представимо в виде $x=6y$ . Осталось найти $y$ . Подставляя $6y$ вместо $x$ в последнее равенство получим: $360 \cdot$ НОД $(6y;6y+66)=36y^2+66 \cdot 6y$ Воспользовавшись свойством наибольшего общего делителя, которое позволяет из одного из чисел вычесть другое, перепишем равенство: $360 \cdot$ НОД $(6y;66)=36y^2+66 \cdot 6y$ После вынесения множитель $6$ за знак наибольшего общего делителя и сокращения обеих частей равенства на $36$ получим: $10 \cdot 6 \cdot$ НОД $(y;11)=y^2+11y$ Так как $11$ — простое число, следовательно НОД $(y;11)=1$ , поэтому $10 \cdot 6 \cdot 1 = y^2+11y$ Решая квадратное уравнение найдем, что $m=4$ , и следовательно $x=6 \cdot 4 = 24$ . Второе число равно $24+66=90$ .

Вопрос репетитору от Сергея: Здравствуйте! Помoгите решить систему уравнений:
$\begin{cases}4 = \dfrac {x \cdot y}{x+y} \\1,7 = \dfrac {16y}{x+y}\end{cases}$

Детальное решение репетитора по математике. Поделим левую часть на левую, а правую на правую. Приравняем полученные частные друг у другу. Сумма x+y и переменная y сократятся, а в оставшемся уравнении останется только х, получим: $\dfrac {4} {1,7} = \dfrac {x} {16}$ Из получившейся пропорции х легко находится :
$x=\dfrac {4 \cdot 16}{1,7}=\dfrac {640}{17}$ Затем подставьте найденное значение X в любое уравнение системы, например в первое. Получится обычное дробное рациональное уравнение (8 класс). Решаем его относительно У и получаем:
$y= \dfrac {640}{143}$
Ответ: $\left ( \dfrac {640}{17}; \dfrac {640}{143} \right )$ Числа конечно ужасные. Где вы взяли такую систему? Интересно даже. Я бы выбросил на помойку то учебное пособие, которое предлагает такие задания. Нет никакого смысла предлагать умышленно «кривые ответы». Нормальные задания должны составляться на числах, которые не мешают концентрировать внимание на самом алгоритме решения. Для какой либо тренировки вычислений коэффициенты тоже не пригодны. По ходу решения почти ничего не сокращается. Я бы не советовал репетиторам по математике давать ученикам задачи с такими ответами, если их целью является запоминание приемов решения (а не напоминание того, что такие ответы вообще возможны).

Вопрос к репетитору от Веры: Помогите решить уравнение:

Решение. Найдем области значений обеих функций, расположенных в левой и правой части уравнения. Левая функция — сложная. Внутренняя $t=cos(\pi x+ \pi)$ с областью значений $t \in [-1;1]$ , а внешняя $y=2^t$ при таком изменении аргумента будет принимать значения из отрезка $[2^{-1};2^1]$ то есть $[\frac{1}{2};2]$ . Нетрудно найди область значений правой части. Найдем у параболы абсциссу вершины $x_0=-\frac{-b}{2a}=3$ . Тогда значение в вершине составит $y_0=3^2-6\cdot3+11=2$ . Следовательно область значений правой части окажется лучом $[2;+\infty)$ . Поскольку все значения левой части уравнения меньше либо равны 2, а значения правой больше либо равны 2, то равенство возможно только когда обе части равны 2. Правая, очевидно, принимает значение y=2 только при $x_0=3$ . Также очевидно, что при x=3 и в левой получится 2. Тогда x=3 — единственный корень уравнения. Колпаков А.Н, профессиональный репетитор по математике. Качественные частные уроки в Москве, Строгино. Он-лайн помощь.