Сиррациональными числами и, в частности, с квадратным корнями, ребенок знакомится в 8 классе. Их точное введение в школьный курс сопряжено с огромными проблемами, связанными с невозможностью построить на занятиях новое множество с абсолютной полнотой и логической непротиворечивостью как это делается в высшей математике. Ребенок не изучает с репетитором по математике теорию множеств, высшую алгебру и математический анализ. Не знает ни аксиому непрерывности действительных чисел, ни пределов, ни супремумов и инфинумов множеств, ни точного определения понятия «площадь» и точного определения операции умножения, привязанной к площадям.
Кроме этого есть тонкости в доказательстве свойств введенных действий с новыми числами, которые по своей форме ничем не отличаются от изученных в начальной школе, но, но имеющих уже совсем иную глубину и значение. Уровень такого изложения нереально высок для любого школьника и поэтому приходится искать обходные варианты преподнесения темы.
Для репетитора по математике важно уметь находить разумный компромисс между точной «взрослой» подачей и возможностями ребенка понять что то хотя бы в общих чертах.
Главная проблема для репетитора — невозможность строгого определение квадратного корня на имеющейся у школьника базе знаний.
Относительно легко удается объяснить смысл знака корня для чисел, являющихся полными квадратами : 9, 16, 25 и т.д. Попытки репетитора по математике распространить определение для корня на всё множество рациональных чисел натыкаются на глубокое непонимание школьником природы появления числа, у которого квадрат равен 2. Среди рациональных чисел таких нет. Это очень легко объясняется (вы можете прочесть о моей форме объяснения этого факта здесь).
Как репетитору по математике объяснить существование числа, квадрат которого равен 2? В принципе, это изложено во всех школьных учебникаах при помощи диагонали квадрата.
Рассмотрим квадрат АВСD со стороной 1см и его диагональ АC. Докажем. что 
Продлим стороны квадрата на их длину и получим диагонали нового квадрата. Его площадь равна сумме четырех половинок первого квадрата, то есть равна 2. 
Так площадь квадрата находится возведением стороны квадрата в квадрат, значит, есть отрезок, квадрат длины которого равен 2. Следовательно, существует число, квадрат которого равен двум. Ни одно рациональное число не может в квадрате равняться двум, поэтому мы нашли новое незнакомое ранее число. Будем его называть иррациональным и обозначать «корень из двух»
В большей степени репетитору удается обозначить проблему. Ребенок может понять ли только то, что существует фигура квадрат с площадью 2, которую нельзя найти умножением длины на ширину. Таких длин сторон нет.
Конечно, можно сказать, что длину этой стороны мы и обозначим знаком 
(тем самым введем новое число) и тогда, при умножении его на себя, получим 2. Значит существует корень из двух.
Даже сильный ученик не сможет распознать подвох. А он состоит в том, что действие умножение неизвестного числа (длины диагонали) на себя нигде ранее не вводилось и его свойства не доказывались.
Репетитор по математике совершает этот обман или специально во благо ученика (чтобы не загружать его тем, что он не поймет) или по собственному незнанию тонкостей абсолютно корректного введения понятия «корень». В любом случае эта методика является оптимальной и самой распространенной в работе репетиторов.
На одном корне из двух далеко не уедешь. Надо еще как-то объяснить, что такое корень из трех, корень из пяти и т.д. Преследуя цель более полного объяснения, репетитор по математике может сделать весьма хитрый и эффективный маневр с выходом в геометрию на теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого один катет равен 1, а другой равен диагонали первого квадрата, то есть корню из двух. Пусть с-его гипотенуза. Так как 
, то тогда 
.
Однако, серьезные математики и в этом месте поставят огромный знак вопроса. Для того, чтобы делать вывод о том, что в некотором множестве (во множестве длин отрезков) есть число, действие с которым приводит к определенному результату, надо понимать как это действие выполняется. А здесь у репетитора возникнут проблемы, потому что действие (умножение) с неизвестными иррациональными длинами отрезков не определено. Как и не введены сами числа. Ребенок умеет умножать только рациональную дробь на рациональную дробь и получать в ответе площадь прямоугольника.
Если репетитор по математике доказал теорему Пифагора, то надо понимать, что используемые в ней преобразования и свойства допустимы только для рациональных чисел и нельзя выявленные взаимосвязи с рациональными числами использовать для выявления существования каких-то еще чисел. Но, поскольку отсутствие определения новым числам и операции умножения с ними маскируются в доказательстве теоремы Пифагора привычными знаками этих действий и буквенным обозначением сторон треугольника, то складывается ощущение, что какое-то число все же при возведении в квадрат дает 2, какое-то 3, а какое-то 5.
Самый большой прокол в методологиях учебников заключается в полном отсутствии объяснения того, что такое произведение иррациональных чисел (с корнями из неполных квадратов в частности) и каких либо доказательств верности для них распределительного и сочетательного законов умножения.
В последующих параграфах школьного учебника можно найти задания, в которых использование формул сокращенного умножения для иррациональных чисел принимается как само собой разумеющееся. А ведь без введения операции умножения иррациональных чисел и без проверки распределительного закона они не доказуемы.
Сгладить это можно привязкой к тем же площадям. Репетитору по математике достаточно сказать, что при умножении двух иррациональных чисел получается площадь прямоугольника с такими сторонами. Свойство аддитивности поможет репетитору пролить свет на верность распределительного закона.
Очевидно, что площадь полного прямоугольника на рисунке равна а(в+с), а сумма его частей равна ав+ас. Поэтому результаты равны.
Если квалификации репетитора по математике хватает самому разобраться в сложных вопросах ведения действий на множестве иррациональных чисел , то некоторым ученикам можно приоткрыть дверь в мир точной математики. Делать это нужно кратно и поверхностно, но сохраняя строгую логику такой науки, как «основания математики».
Колпаков А.Н. Репетитор по математике.
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }