Иррациональные уравнения, уровень С

by Колпаков А.Н. on 3 сентября 2010

Комплект заданий для репетиторов по математике, школьных преподавателей и учеников.

Решите уравнения выделением полного квадрата:

1) $x^2+10=x(2\sqrt{3x+10}-3)$ Ответ: x=5

2) $x^2+36+3x(3+2\sqrt{x+4})=0$ Ответ: x=-3

3) $2x(x+2)=3(x\sqrt{4x-3}+1)$ Ответ: $x_1=1, x_2=3$

4) ${\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}\over 2}=x+\sqrt{x^2-16}$

5) $\sqrt{x-1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{x^2+2x-3}=4-2x$

6) $\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1}=3x+2\sqrt{2x^2+5x+3}-16$

7) $\sqrt{x+7+4\sqrt{x+3}}-\sqrt{x+4-2\sqrt{x+3}}=3$

8) $\sqrt{x+7+6\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+10-6\sqrt{x+1}}=5$

Решите уравнения возведением в квадрат:

9) $\sqrt{4x-7}-\sqrt{2x+3}=\sqrt{9x-20}-\sqrt{7x-10}$

10) $3(\sqrt{x+5}-\sqrt{x+1})=2(\sqrt{x+17}-\sqrt{x+2})$

Решите уравнения, используя монотонность функций:

11) $\sqrt{x}+\sqrt{x+3}+\sqrt{x+8}+\sqrt{x+15}=10$ Ответ: x=1

12) $\sqrt{2x-1}+2\sqrt{3x+1}+\sqrt{4x+5}=8$ Ответ:x=1

13) $x+ \sqrt{x-1}+\sqrt{x+7}+x^2=10$ Ответ: x=2

Решите, учитывая ОДЗ :

14) $\sqrt{3x^2-x+1}-\sqrt{2x^2+3x-3}+x^2+1=0$

15) $\sqrt{2x-9}-\sqrt{x^2-4x}=x^2$

16) $\sqrt{6x-x^2}-\sqrt{25-4x}=x^2-10x+25$

17) $\sqrt{x-5}-\sqrt{2x-1}=x^2+3$

18) $\sqrt{2x-3}-\sqrt{x^2-x}=2006$

19) $\sqrt{x-4}-\sqrt{x^2-3x-1}=x^2-x+2$

20) $\sqrt{x-8}-\sqrt{x^2-5x}-x^2+x-1=0$

21) $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{x^2+5}+\sqrt{3-x}=x^4+x+7$

Метод оценки области значений функций:

22) $\sqrt{x^2-6x+10}+\sqrt{x^2-10x+29}=3$

23) $\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2+2x+10}=3$

24) $\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2-4x+13}=5$

Уравнения, решаемые умножением обеих частей на сопряженное к одной из скобок:

25) $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x-1}+1)=2x$

26) $(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{2x+14}-3)=x$

Введите для корней две новые переменные и составьте систему уравнений:

27) $\sqrt[3]{x+7}+\sqrt{x+3}=4$

28) $\sqrt[3]{x-3}+\sqrt{x}=3$

29) $\sqrt[3]{x+11}+\sqrt{17-x}=2$

30) $\sqrt[3]{x+19}+\sqrt{17-x}=6$

Решите возведением обеих частей в куб:

31) $\sqrt[3]{x+10}-\sqrt[3]{x+3}=1$

32) $\sqrt[3]{x+34}-\sqrt[3]{x-3}=1$

33) $\sqrt[3]{12-x}+\sqrt[3]{x+14}=2$

Решите методом взаимно обратных функций:

34) $2x^3-1=\sqrt[3]{x+1\over 2}$

35) $3x^3-2=\sqrt[3]{x+2\over 3}$

Замените скобку на новую переменную и рассмотрите уравнение как квадратное относительно этой переменной:

36) $(\sqrt{1-x^2}+x)^2+x(\sqrt{1-x^2}+x)+x+2=0$

37) $(x^2-3\sqrt{x-5}-2)^2-3(x^2-3\sqrt{x-5}-2)=x+2$

38) $(\sqrt{-x^2+4x-3}-3)^2+2x(\sqrt{-x^2+4x-3}-3)+x+6=0$

39) $\left ( \dfrac{\sqrt{4x}-\sqrt[8]{2x}}{2}\right)^2 + 2x\left ( \dfrac{\sqrt{4x}-\sqrt[8]{2x}}{2}\right)+2x^2-x+\dfrac{1}{4}=0$

Колпаков А.Н. Репетитор по математике.

Метки: Алгебра, Пособия репетитора, Решение уравнений, Ученикам

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Айгуль 3 октября, 2016 в 1:07: √(1+√(х+√(1+√(х+√(1+√(х+⋯)) ) ) ) ) = x
Колпаков А.Н. 13 ноября, 2016 в 6:19: Однозначно задание на метод иттераций. Уравнение вида f(f(f(…(x)…)))=х при возрастающей функции равносильно f(x)=х

Оставьте комментарий