Решения элементарных задач по математике. Помощь репетитора посетителям сайта

by Колпаков А.Н. on 7 декабря 2010

На этой странице я решил публиковать решения самых простых элементарных задач по математике. Страница задать вопрос репетитору по математике неожиданно оказалось очень востребованной, однако, содержание ваших вопросов сильно отличается друг от друга по уровню их сложности. Размещение на одной странице решений конкурсных задач по математике (с олимпиад в МГУ, ВШЭ, ФА или МФТИ), задач по высшей математике вместе с элементарными, очевидными и неоригинальными решениями превратило бы сайт «профессиональный репетитор по математике» в подобие барахолки. Именно для этого я разделяю страницы, иначе поток несортированной математической информации, исходящей от репетитора, будет мешать получать знания на уровне, соотвествующем способностям каждого конкретного посетителя сайта.

Варианты решений и указания репетитора по математике публикуются в максимально подробном и доступном виде, так, чтобы ход мыслей был понятен слабому ученику. По моему глубокому убеждению профессиональный репетитор по математкие — это тот репетитор, который умеет не только показывать и решать сложные задачи, но и доносить элементарное до сознания каждого школьника.

Если вам не интересны решения самых легких задач — перейдите по ссылке на страницу задать репетитору по математике вопрос по предмету. Остальные ответы и решения я размещаю здесь.

Конечно, мне интереснее публиковать содержательные решения, хотя бы уровня номеров части «С» на ЕГЭ или второй части ГИА. Поэтому ответы на простейшие вопросы и объяснения к выполняемым действиям будут краткими.

Репетитор по математике о решениях элементарных задач

Школьные задачки уровня А.

Вопрос репетитору от Альбины (5 класс):
V по течению = 18 км/ч, V против течения = 8 км/ч. Найдите собственную скорость, а также скорость самого течения. За сколько часов пройдёт 40 км по этой реке плот?

Решение:
Как известно, собственная скорость V_{c} любого объекта является средним арифметическим его скоростей по течению и против течения, а скорость самой реки V_{p} равна полуразности этих же скоростей. Поэтому Vc=\dfrac{18+8}{2}=13 и Vp=\dfrac{18-8}{2}=5. Тогда легко рассчитать и время плота (он плывет со скоростью реки) t=40:5=8 (часов)

Вопрос от Натальи:
Не можем решить задачу, помогите пожалуйста. За 2 \frac{2}{3} ч велосепедист проехал 24 км. За какое время он поедет 30 км?

Репетитор по математике, Александр Николаевич
Найдем скорость: 24:2\frac{2}{3}=24:\frac{8}{3}=24 \cdot {3}{8}=9 (км/ч) Теперь найдем время, необходимое для преодоления расстояния в 30 км:
30:9=\frac{30}{9}=\frac{10}{3}=3 \frac{1}{3} (ч) = 1час 20 минут

Вопрос от kemal: Помогите решить уравнение: l2х-1l=5

Репетитор по математике, Григорий Павлович: это классическое линейное уравнение с модулем, которое обычно изучается в 7 классе и часто даже не в профильном классе, а в обычном. Если в правой части стоит положительное число — оно имеет 2 корня. Что от нас требуется? Узнать при каком числе х в результате действий в левой части получится 5. Последним действием, в котором этот ответ должен получится, выступает модуль. Для того, чтобы этот модуль дал в ответе 5, необходимо чтобы число под его знаком в результате действий 2x-1 оказалось равным или 5 или -5. Осталось найти такие иксы решая 2 отдельных уравнения а) 2x-1=5 и б) 2x-1=-5. Думаю этот навык у Вас имеется. В первом уравнении получается 2x=6 и следовательно х=3, а во втором 2х=-4 и поэтому х=-2. Итого x_1=3, x_2=-2

Вопросы репетитору от Алины:
Здравствуйте! У меня к вам большой вопрос. Из 4-х утверждений нужно выбрать верные:

Утверждение №1. Через любые три точки проходит не более одной окружности.
Репетитор по математике, Колпаков А.Н.
Верно, если имеются ввиду различные точки плоскости.

Утверждение №2. Если расстояние между центрами двух окружностей больше суммы их диаметров, то эти окружности не имеют общих точек.
Репетитор по математике, Колпаков А.Н.
И это верно. Для обоснования утверждения достаточно вспомнить критерий существования пересечения двух окружностей: две окружности с радиусами R_1 и R_2 пересекаются только в том случае, когда |R_1-R_2|<p<|R_1+R_2|, где p — расстояние между их центрами (это следует из неравенствва треугольника, смотри рисунок).

Репетитор по математике он-лайн. Иллюстрация к вопросу о пересечении окружностейТак как в нашем случае 80^\circ, то вписанный угол, опирающийся на эту дугу окружности, равен 40^\circ.
Репетитор по математике, Колпаков А.Н.
И это утверждение верно, так как оно следует из теоремы о градусной мере вписанного угла в окружность: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Вопрос репетитору по математике от Саши:
Александр Николаевич, подскажите решение простой задачи. Не могу вспомнить формулу: рёбра куба равны 4 см. Каков будет его объём?

Решение репетитора по математике:
Чтобы найти объем куба нужно возвести длину его ребра a в куб, то есть V=a^3=4^3=64 куб.см.

Вопрос репетитору от Олега Сюзикова:
Уважаемый Александр Николаевич! Мне кажется, что одна из Ваших задач для 4-го класса не имеет ответа: Саша выписал числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 в кружки квадрата. Оказалось, что сумма чисел на каждой стороне квадрата, равна 13.Если не затруднит, приведите, пожалуйста, пример указанной записи.Сколько не бился, я не смог составить такой квадрат. С уважением, Сизиков О.К.

Решение репетитора по математике:
Думаю, что вам не хватило упорства. Вариант есть и он показан на рисунке:


Вариант расстановки чисел от репетитора по математике

Вопрос репетитору от Тани:
Решите пожалуйста задачу: пешеход идет со скоростью 6 км/ч. Выразите его скорость в метрах в минуту.

Решение репетитора по математике:
Скорость 6 км/ч показывает, что за один час пешеход пройдет 6 километров. Нам надо узнать сколько метров он пройдет за минуту. Сначала определим сколько метров он проходит за этот же час. Для этого нужно перевести 6 км в метры: км=6\cdot1000=6000 м. Теперь узнаем сколько метров он пройдет за 1 минуту. Для этого путь, пройденный за час, нужно разделить на 60. Получим 6000:60=100м/мин.

Вопрос репетитору от Дамеш:
Александр Николаевич, помогите решить эти примеры. Выполнить умножение:

1) \dfrac{3a-5b}{2a} \cdot 3a

2) \dfrac{5b}{a^2-b^2}\cdot (a+b)

3)(3a-6b) \cdot \dfrac{a+b}{2a-4b}.

Решение репетитора по математике:
Решение репетитора по математике. Умножение дробей

Вопрос к репетитору от Ксении:
Найдите площадь круга, если длина окружности этого круга равны 12,4 см.

Решение репетитора по математике: При такой постановке задачи обычно указывается до какого разряда следует округлить число \pi \approx 3,14159265358979 .... Судя по тому, что 12,4 хорошо делится на 3,1, в условии вашей задачи, скорее всего, \pi \approx 3,1. Длина окружности вычисляется по формуле C=2 \pi R . Подставим в нее C=12,4 и найдем радиус: R=\dfrac{C}{2 \pi}=\dfrac{12,4}{2 \cdot 3,1}=2 . Площадь круга с радиусом R вычисляется по формуле S=\pi R^2. Подставляя в нее значение радиуса и округленное значение числа \pi , получим S=\pi R^2=3,1 \cdot 4 = 12,4 см.

Вопрос репетитору от Leisan:
подскажите способ решения олимпиадной задачи: ослик Иа и Пятачок подарили Винни-пуху на день рождения горшочек, до краев наполненный мёдом, весом 5 кг. Когда Винни-пух съел половину всего мёда, то горшочек с остатками мёда стал весить 3 кг. Сколько же мёда было в подаренном горшочке?

Решение репетитора по математкие: Так как Пячтачок ел только мед, а не вприкуску с горшочком, то меда было съедено 5-3=2кг, а так как это половина всего меда, то весь мед должен весить 2+2=4кг.

Вопрос репетитору от Лейсана:
Решите задачу: Алиса с Костей встретились в вагоне метро. Алиса сказала, что ездиет всегда в седьмом вагоне считая с начала. А костя сказал, что он тоже ездиет всегда в седьмом вагоне, но считая с конца. Сколько вагонов в поезде?

Решение репетитора по математике: Так как Алиса находится в седьмом вагоне, считая с начала, то до первого вагона 6 вагонов. Так как Костя находится в седьмом вагоне, считая с конца, то до последнего вагона тоже 6 вагонов. Добавляя к сумме 6+6 еще один вагон (в котором они находятся), получаем в ответе 7.

Вопрос репетитору от Татьяны:
Искала интересные задачи для зимних математических игр пятиклассников и нашла на Вашем репетиторском сайте несколько подходящих. Большая просьба к Вам: не могли бы Вы подсказать решение задачи про березы?
Задача. Коля и Витя, гуляя по парку, набрели на круговую поляну, засаженную дубами. Коля пошел по кругу считать деревья. А Витя сделал то же самое, но начал с другого дерева. Дерево, которое было у Коли под номером 41, у Вити было 13-тым, а 13-е дерево было 35-тым. Сколько дубов росло вокруг поляны? Ответ 50 деревьев? А для жюри как представить решение для проверки? Спасибо.

Решение репетитора по математике:
Детям лучше всего показывать решение на рисунке. Если без него, то можно так: в задаче выделяются два дерева, путь между которыми мальчики проходят с разных сторон круга (по дополнительным дугам). Поэтому между указанными номерами все деревья разные. Вместе с двумя данными они составляют полное количество деревьев на поляне. Находим, сколько деревьев между 13-ым и 41-ым у Вити: 40-13=27 и сколько между 35-ым и 13-ым у Коли: 34-13=21. Тогда всего 27+21+2=50 деревьев.

Вопрос репетитору от Нозима:
Как найти степень, если она не определена? Например, число 5, степень х, а результат равен 625.

Ответ репетитора по математике:
Показатель степень, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b называется логарифмом от b по основанию a и обозначается так log_{a} b . Вам необходимо вычислить логарифм от 625 по основанию 5. Решение можно оформить так: log_{5} 625 = 4 . Правила вычисления логарифмов вы можете посмотреть здесь.

Вопрос репетитору от Евгения. Здравствуйте, решите задачу: на некоторую сумму денег купили 2кг яблок, после этого они подешевели на \dfrac{1}{6} часть. Сколько теперь килограммов яблок можно купить на эту же сумму?

Решение репетитора по математкие.
Классическая задачка на пропорциональную зависимость между ценой, весом и стоимостью. Пусть x (руб) – прежняя цена яблок. Так как их купили 2кг, то денег заплатили 2xрублей. Если цена снижается на \dfrac{1}{6}, то новая цена будет составлять \dfrac{5}{6} от первоначальной, то есть \dfrac{5x}{6} рублей. Разделив потраченную ранее сумму на новую цену, узнаем сколько килограммов можно купить после снижения цены:

2x : \dfrac{5x}{6} = 2x \cdot \dfrac{6}{5x}= \dfrac{12}{5}=2,4 кг.

При решении задачи удобно использовать таблицу:

Решение репетитора по математике.Табличный способ

Вопрос от Юры:
Здравствуйте, помогите решить задачу. Было 20 вареников. Съели на 2 больше, чем осталось. Сколько вареников сьели и сколько осталось?

Решение репетитора по математике:
Составим уравнение. Обозначим буквой x количество оставшихся вареников буквой. Тогда количество съеденных вареников будет равно x+2 . Так как общее количество вареников равно 20, то можно cоставить с иксом равенство x+x+2=20. Cкладывая подобные слагаемые в левой части после переноса числа 2 в правую часть получим : 2x=18. Поделим произведение на известный множитель ( то есть на 2) и найдем: x=9. Тогда количество съеденных вареников равно 20-9=11.

Ответ репетитора: 9 и 11.

Вопрос репетитору от Alex:
Вымытые тарелки уложили в 12 стопок, по 20 тарелок в каждой, и остались ещё не уложенными х тарелок. Составь выражение для вычисления числа вымытых тарелок. Вычислите если значение, если х равно 9 и 7.

Решение репетитора по математике: Фактически, в задаче можно сразу написать ответ. Каких-либо пояснений давать не стоит, ибо ее место в программе 4-6 класса. Выражение такое k=12 \cdot 20 +x

Если x=9, то к=12 \cdot 20 + 9 = 249  — количество всех вымытых тарелок.

Если x=7, то к=12 \cdot 20 + 7 = 247  — количество всех вымытых тарелок.

С уважением, Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве.
Профессиональный репетитор по математике в Строгино.
Для просмотра других решений перейдите на следующую страницу.

Страницы: 1 2 Далее

Метки: Ученикам, Элементарная математика

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий