Какую аналогию использует репетитор по математике в обучении доказательствам. Геометрия 7 класс)

Как известно, доказательство любого утверждения в геометрии, как и вообще в математике, представляет из себя определенный набор логических переходов от одного факта (условия) к другому (заключению). Решение задачи можно сравнить с поиском тропинки, ведущей от начального математического объекта (равнобедренного треугольника, параллельных прямых или любого другого) к конечному (равенству углов, равенство отрезков, треугольников ...).

Может ли репетитор по математике развить в 7 классе у ученика способность создавать и описывать такие логические маршруты? Безусловно. Причем готовить почву для такого развития нужно с малых лет. В 5 классе в распоряжении репетитора имеются олимпиадные задачи. Их можно найти у меня на сайте. В 7 классе вместо олимпиадного материала репетитором используются типовые геометрические задачи на доказательство. И те и другие вызывают серьезные затруднения у рядового школьника и требуют акуратного и тонкого подхода к ним со стороны репетитора.

Главным препятствием на пути формирования логического аппарата у ученика 7 класса (при условии, что он хорошо знает содержание теорем) является существенное изменение (по сравнению с 5 — 6 классом) характера работы с математическими (в основном геометрическими) объектами. За время учебы в младшей школе школьник привыкает к тому, что все необходимое для решения задачи дается ему в условии. И все формулы всегда работают. Когда репетитор по математике в 7 классе впервые произносит слово «доказательство», то от прежнего постоянства мало что остается. Оказывается, что изучаемое не всегда можно использовать. Это обстоятельство оказывает влияние даже на бывших отличников, которые к середине 7 класса неожиданно для себя и родителей начинают приносить непривычно низкие оценки по геометрии.

Меняется стиль решения задач (теперь в них нужно постоянно что-то доказывать) и требования к их оформлению. Из-за того, что новые (виртуальные) формы лишены предметной привязки к реальным процессам (к измерениям и нахождениям) они труднее запоминаются. Ученик не может визуально соотнести (сравнить) происходящее в доказательстве с каким-нибудь близким и понятным действием или знакомым явлением. Отсюда и проблемы.

Многие репетиторы по математике строят разъяснительную работу исключительно на оформлении задач, объясняя логику действий записями. Однако далеко не всегда эти записи помогают пониманию геометрии как науки. Даже если репетитор использует систему классических сокращений (систему фраз, стрелок, знаков, объединяющих скобок и др.), методично повторяя их из урока в урок. К сожалению, математическая точность и лаконичности не всегда хватает для запуска «мозгового двигателя» ученика.

Мне доводилось сталкивался с ситуациями, когда в 7 классе репетитор по математике (по совместительству — школьный преподаватель) заставлял своего подопечного писать целые трактаты — сочинениями на тему «почему и отчего». Логику поиска маршрута решения ученик не видел и просто записывал в тетрадь под диктовку репетитора стандартные математические штампы и обороты. Писал и не только. Воспроизвести их в аналогичных ситуациях он не мог.

Большой объем записей при классическом оформлении мешает концентрироваться на построении самой сути доказательства — логической цепочки (дорожки, маршрута). Если репетитор по математике начинает расставлять ссылки на все используемые в доказательстве теоремы (или заполняет логические переходы формулировками теорем), то непременно мешают ученику выделить главную линию доказательства. Чтобы указать в оформлении факты, на которых основывается тот или иной логический вывод, репетитору приходится каждый раз их указывать. Это также мешает концентрироваться на главном, ибо значительно увеличивает объемы записей.

Длинное и путанное оформление доказательства получается даже при использовании классических сокращений. В результате репетитор по математике «теряет» ученика уже на втором-третьем выводе-переходе. Память и внимание в 7 классе работают крайне неустойчиво, поэтому преподавателю приходится постоянно возвращаться к одному и тому же. Это только вносит смуту в ход рассуждений.

Какую методику использует репетитор по математике для наилучшего восприятия техники доказательств? Важно значительно сократить количество записей. Это удается сделать только при работе с краткими схемами. Каждая такая схема составляется в процессе поиска доказательства и служит отличным средством для визуального контроля за происходящим. Она не является заменой оформлению и играет роль некой памятки или опорного черновика. Репетитор кладет ее перед глазами учащегося и заносит информацию обо всех основных этапах (узлах) доказательства. Что они из себя представляют и как в 7 классе можно заинтересовать доказательствами пойдет речь далее.

Как репетитор по математике снимает проблему понимания логики доказательства?

Одна из проблем, с которой постоянно сталкивается репетитор — неумение учеников искать решение, неумение думать. Для формирования навыка рассуждений с нуля, как мне кажется, нужны определенные организационные условия, построенные на сравнении доказательства с каким-нибудь простым и понятным реальным процессом. Если репетитор по математике этого не сделает, — возникнут сложности в объяснениях. Доказательство примет строгие математические формы, трудно воспринимаемые детьми. Возникнут проблемы с переключением внимания и, как следствие, увеличится вероятность обнуления «буфера» памяти. Репетиторы часто жалуются на это. В процесс размышлений над задачей ученики забывают о полученных ими же математических фактах. Докажут равенство углов и забудут про это. Или вообще забудут о том, что доказывает :).

Аналогия захвата города

Понимание доказательства требует полного визуального контроля за происходящим. Кроме этого нужна достаточно интересная и простая аналогия с реальностью. Что интересно ученику 7 класса? Он еще ребенок и, как правило, не вышедший из игрового возраста. Репетитор по математике просто обязан это использовать. Игровая форма деятельности в сочетании с точной аналогией дает великолепные результаты. Я сравниваю доказательство геометрического факта с проведением широкомасштабной военной операции (битвой, сражением, завоеванием), что составляет суть одной из самых популярных игр у подростков — игрой в стратегию.

Ставится цель — захватить вражеский город «В» (итог доказательства). Для этого у ученика имеются начальные ресурсы, сконцентрированные в городе «А» (это данные условия задачи). Математические факты (равенство углов, отрезков, наличия равнобедренного или прямоугольного треугольника и т.д.), используемые в ходе доказательства — условия для ведения боевых действий: военные базы, солдаты, оружие, танки, самолеты, ракеты, солярка, пули, снаряжение, противогазы и др. Изначально их недостаточно для завоевания «В». И нет дорог для продвижения воинских частей. Ее и нужно построить.

Известно, например, что имея танки, можно захватить город «С», который репетитор по математике ассоциирует с каким-либо логическим условием (ранее изученным математическим фактом). Пройденные ранее теоремы — дороги, ведущие от одного города к другому (этих городов между «А» и «В» — великое множество). Эти дороги построены, но попасть на них можно только проложив путь от города А.

Можно красиво описать ситуацию. Город «В» окружен лесом, болотом или иными трудно преодолимыми препятствиями, но к нему ведут дороги от других городов, через которые его можно захватить. О некоторых из них имеются данные разведки. Названия городов — это математические факты (равенство углов, треугольников, параллельность прямых, сумма односторонних углов, смежных углов и т.д.). Города могут быть соединены дорогой (если один из фактов является следствием другого), а могут быть и не соединены. Репетитор по математике предлагает ученику разработать план: построить маршрут от «А» к «В». Но как? Удар по «В» можно нанести из каких-то соседних городов (неких логических островков), которые нужно найти на карте. В самом деле, не можем же мы сразу ударить по городу «В» из штаба «А» (если это не ядерная война:)) ). Нарисуем (или представим себе) города, откуда ведут дороги к городу «В». Репетитор по математике намечает несколько пустых кружков вокруг будущего конца цепочки и просит ученика подумать о том, каким математическим содержанием их можно было бы заполнить. При определенной подготовительной работе репетитора над пониманием каждой теоремы в отдельности, ученик вполне способен перечислить имеющиеся варианты. Затем нужно подумать о том, захвачены ли эти островки (города) или нет. Возможно, в каком из них находятся части нашей армии или город напрямую соединен со штабом «А». (если дорога от «А» к «В» уже построена).

Если какой-то математический факт является следствием сразу нескольких условий (к городу ведут несколько дорог), то захватить его ресурсы можно только направив армейские подразделения сразу по всем таким дорогам (иначе генералы вражеской армии вместе необходимым нам для продолжения войны ресурсами (продовольствием, снарядами, танками и др) просто уйдут от нас одной из них.

Знакомство с правилами игры «захват города» происходит гораздо быстрее, чем это может показаться по описанию. Репетитору достаточно показать одну-две задачи и ребенок уже погружен в процесс. Глаза горят, интересно. Если репетитор по математике хочет научить своего подопечного классическому методу поиска необходимых условий (решению от конца к началу), — то лучше всего навести ученика на эту идею при последовательном обсуждении двух стратегий составления плана операции:

1) Можно начать с разработки завершающего удара. Для этого (как описывалось выше) нужно найти город для нанесения непосредственного удара по «В» (смотрим, что необходимо знать, чтобы доказать ...).
2) Тотальная стратегия боевых действий. Можно завоевывать все города подряд, начиная с «А». Репетитор по математике советует нарисовать как можно больше стрелок (дорог) от «А» к другим точкам на карте. Вторгаемся в какой-нибудь город и смотрим, пригодится ли он нам для дальнейшего или нет. Таким образом, репетитор по математике реализует формирование навыка поиска теорем, применимых в условии задачи вообще. Это крайне полезный навык. Если не удается понять, как подступится к доказываемому факту, нужно открыть (найти) хотя бы какой-нибудь дополнительный факт. Он может помочь в достижении цели.

Пример того, как подобную схему строит репетитор по математике — план завоевания города «В» (он выделен синим цветом):

Пример задачи по геометрии (7 класс): Рассмотрим типовую задачу по геометрии на доказательство параллельности двух прямых, взятую из материалов широко распространенного сборника «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 7 класса» авторов А.П. Ершова и В.В Голобородько. Вариант В1 из работы С10. Условие задачи и рисунок Вы видите слева.

Схема репетитора к задаче (методика захвата города):

Мы наносим удары по двум соседним городам и  — равнобедренный. Затем захватываем города с углами. Части нашей армии с двух сторон наносят удар по городу и, наконец, попадают в город .

Колпаков А.Н. Репетитор по математике — Москва. Автор приема работы.