Репетитор по математике в работе с квадратными неравенствами

Если Вы опытный репетитор по математике и работаете индивидуально не первый год, то наверняка приходилось рассказывать в 9-11 классах тему «квадратные неравенства» тяжелым неподъемным ученикам, не воспринимающим традиционные формы объяснений. По моей статистике их доля составляет более 25% всех школьников. Приходит репетитор по математике к такому учащемуся, а тот даже не знает, что такое функция и с чем ее едят. Как быть? Хорошо, если это происходит в 9 классе. В 11 классе работа с таким учеником превращает подготовку к ЕГЭ по математике в хождение по мукам.

Какие действия должен предпринять репетитор по математике в этом случае? Можно ли рассказать тему в отрыве от остального материала? Рассмотрим методику объяснения темы ученику с близким к нулевому уровню знаний темы «свойства функции» (9 класс). Будем считать, что простейшие арифметические действия выполняются, а также решаются несложные квадратные уравнения (хотя бы на уровне механического заучивания алгоритма).

Что посоветовать репетитору? Прежде всего, необходимо отказаться (хотя бы на некоторое время) от использования общематематических формулировок, оборотов и малоизвестных ученику терминов. Это нелегко сделать, ибо они наиболее точно описывают взаимосвязи между числами и объектами. Однако перестроиться нужно. Итак, рассмотрим неравенство: получить в ответе положительное число. Необходимо сказать, что при вставке в функцию числа вместо буквы x, выполнить действия в указанном выражении можно с помощью графика. Нарисуем его. Если ученик не знает как это сделать, то репетитору по математике ничего не остается, как показать некую кривую (параболу) и с ее помощью продемонстрировать сам процесс.

Процедура стандартная: репетитор по математике отмечает произвольное число из какого-нибудь промежутка оси Ох, проводит через него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем горизонтальную от полученной точки к оси игрек. Комментарий репетитора, дословно, может быть следующим: «Так выполняются действия по графику». Звучит коряво, но зато хорошо запоминается.

Репетитор продолжает: «если результат окажется положительным, то «тестируемый икс» отправляется в ответ. Если отрицательным — в корзину. И так со всеми числами из всех промежутков». Ставится задача: протестировать все числа. Тогда нужно выявить закономерность получения знака. Репетитор математики объясняет, что знак результата вычислений совпадает с координатой точки графика по оси Оу. В каком случае и каким он будет? «Если точка находится выше оси Ох, то эта координата положительная, а если ниже — отрицательная. Поэтому, все то, что находится под графиком, проходит в ответ. Остальное отправляются в корзину. Ответ образуют числа на оси ОХ, находящиеся под кусочками графика. Их и нужно записать.»

В некоторых ситуациях, я применяю такой прием: попеременно закрываю непрозрачной линейкой верхнюю / нижнюю части координатной плоскости и прошу записать незакрытые кусочки.

Разобравшись с одним неравенством, репетитор по математике рассматривает различные варианты знаков у других, то есть . Произносится фраза — комментарий к тому, что включается в ответ: «промежутки с нужным знаком (плюс или минус) и все закрашенные точки. Такую формулировку выгодно помнить для вырожденных случаев, когда в отчете квадратного неравенства оказывается одна единственная точка.

Нельзя забывать о различных случаях расположения параболы относительно оси абсцисс. Для того, чтобы сконцентрировать внимание ученика на разнице ответов при различных знаках неравенства и направления ветвей, репетитор по математике обыгрывает варианты с одним и тем же квадратным трехчленом в левой части. Например, предлагается набор таких неравенств:

Важно сделать рисунок к каждому из них и записать ответ. Сохраняя единство левой части, репетитор по математике помогает ученику запомнить, что картинка с изображением параболы и знаков зависит только от квадратного трехчлена, а не от знаков.

Какие ошибки репетитор по математике выявляет у учеников чаще всего?

Знак слева

Типичная ошибка, с сталкивается регулярно репетитор по математике, является промах в знаке на левом промежутке. Когда ученик расставляет «+» / «-», возникают ассоциации с расположениями положительных и отрицательных чисел на оси. Конечно же, слева — отрицательные, а справа — положительные. К чему это приводит? Слева ставят минус, а справа плюс. Если репетитор по математике не сможет найти для профилактики этой ошибки какой-нибудь короткую, но одновременно с этим яркую, точную и информативную фразу, то ученик через некоторое время с успехом эту ошибку повторит.

Что и когда должен сказать ученику репетитор по математике? Я использую правильно решенное неравенство. Беру верный рисунок с уже расставленными на нем знаками и членораздельно произношу: «это знаки не иксов, а их игреков». Такая фраза репетитора по математике оптимальна как для профилактики ошибки, так и для повторение способа проверки решения.Репетитор вызывает таким образом желание вспомнить, как эти игреки вообще находятся. Другой способ исключить ошибку — начать обяснение правила расстановки знаков не с правого промежутка (как это часто репетиторы делают), а с левого (как показано на рисунке). В этом случае левый знак + «привяжется» в голове ученика к положительной части оси ординат.

Знак по центру

Еще одна популярная ошибка – следствие механического заучивания знаков. Школьники часто ставят третий знак между ветвями в ситуации с параболой, касающейся оси Ох. В этом случае репетитору математики приходит на помощь следующий вопрос: «На сколько промежутков разделилась ось ОХ нулями функции?» Его надо задавать регулярно от задания к заданию в тот момент, когда на рисунке появляется парабола.

Путаница с уравнениями.

Слабый школьник нередко останавливает решение квадратного неравенства в том случае, когда дискриминант оказывается отрицательным. Типичный пример: решить ?. Ответ очень прост. Используется алгоритм, с которым дети привыкли работать на механическом заучивании. Ведь в большинстве случаев оценка (проверка) результатов (корней) не производится. Получились числа и нормально. Репетитор по математике не требует проверок, — ну и хорошо. Все же правильно. А что эти числа показывают — помнить не нужно.

Два правила репетитора по математике:

1)Я запрещаю решать какие-либо неравенства в уме, то есть без графика или рисунка. Это правило относится даже к простейшим линейным неравенствам. Почему? Привычка изображать ответ для x>5 напомнит ученику о том, что нужен рисунок и для на y и обратиться выработанному ранее навыку записывать y>0, если

Колпаков А.Н., репетитор по математике. Москва.