Предлагаю вниманию репетиторов и учеников вариант вступительного экзамена (олимпиады) по математике для потупающих в 5-е классы курчатовской школы со своим анализом и комментариями к выполнению некоторых заданий и методике объяснений. Репетиторам и преподавателям математических кружков и факультативов, проводящих занятия с одаренными детьми.
1) Катя мечтает: «Если бы у меня сейчас было в 3 раза больше шоколадок, чем на самом деле, то получилось бы ровно на 12 шоколадок больше». Сколько шоколадок сейчас у Кати?
2) Из пункта М в пункт N выехал почтальон со скоростью 23км/ч, и одновременно с ним из N в M выехал второй почтальон со скоростью 19км/ч. Когда первый почтальон прибыл N, второму еще оставалось до М проехать 24 км. Каково расстояние между М и N?
3) Пробег автомобиля можно записать четырехзначным числом с четырьмя различными числами. Если у него зачеркнуть первую цифру вместе с последней, то получится наибольшее двузначное число из тех, у которых сумма цифр равна 13. А если зачеркнуть две средних, то получится число у которого последняя цифра в 4 раза меньше первой. Каков пробег автомобиля?
4)
Окно разделено двумя перегородками на три равных окошка (с равными размерами) так, как показано на рисунке. Периметр большого окна равен 6 метров. Найти сумму длин этих перегородок.
5) В погребе находится 40 банок с компотом. В восьми из них — клубничный компот, в 7 — малиновый, в 25 — вишневый. Какое наибольшее количество банок можно вынести в полной темноте из этого погреба так, чтобы в погребе остались хотя бы 4 банки с компотом одного сорта и хотя бы 3 банки с компотом другого сорта?
Комментарий репетитора по математике: первую задачу ребенок должен решить без составления уравнения, хотя в процесе рассуждения величина (часть) будет просто соответствовать тому, что обозначено буквой икс. Фактически решение задачи дублирует решение аналогичного уравнения, только на реальных объектах, то есть на частях. Если ребенок не может себе представить неизвестное в виде одной части (или не может представить себе объект из трех таких частей), то репетитор должен подкрепить свои объяснения графикой. Можно сделать рисунок в виде столбика, один из которых в 3 раза больше (выше) другого и показать разницу в 12 шоколадок, на которую будут приходиться ровно 2 части. Репетитор по математике, прежде приступить к объяснению на модели (на столиках), должен объяснить ученику, что именно эти столбики будут показывать. Надо сказать, что мы кладем шоколадки друг на друга, выстраивая таким образом из них башню. Ее и нарисуем.
Пятый номер из серрии знаменитых задач про шарики. В них с закрытыми глазами из коробки нужно вынуть столько шаров, чтобы гарантировать наличие заказанной комбинации цвета и количества. В варианте олимпиады составитель взял за основу именно эту идею и немного заменил условие. Теперь нужно не брать шары, а осталять. Однако, от этого способ решения не меняется. Все равно надо отталкиваться от поиска самого худшего варианта, при котором можно не обеспчить требование остатка. Такой вриант не очень сложно подобрать. Однако, репетитор по математике должен помнить, что максимальное количество баллов ребенок получит за четкое полное и математически строгое обоснование того, что меньшее количество (хотя бы на 1 меньше) всегда оставит нам варинт с тремя и четырьмя банками.
Для этого точнее всего сработает метод доказательства от противного: докажем, что при вынимании n шаров (подберите n сами) всегда где-нибудь останется хотя бы 3 шара. Допустим это не так и банок каждого из первых двух сортов меньше трех (заменим, что из-за большого числа банок 3-го сорта при n выниманиях их количество очевидно будет больше четырех). Тогда, рассудждая о том, сколько минимум банок при таком раскладе из каждого сорта будет взято, приходим к противоречию с числом n.
Если ребенок не знаком с методом от противногоним (хотя бы в общих чертах и на более постых моделях) репетитор математики должен заняться им отдельно.
Из серии варианты олимпиад для 5 класса.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике в Москве
{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }