Что больше: e в степени пи или пи в степени е?

by Колпаков А.Н. on 11 июня 2011

Недавно ко мне обратился один школьник с вопросом о сравнении двух чисел. Нужно было выяснить, что больше: е в степени пи или пи в степени е? Красивое сочетание. Не правда ли? Репетитор по математике, который с ним занимался весь год, не смог справиться с такими иррациональностями, а мне всегда было интересно повозиться с теми номерами, которые у кого-либо не получились. Должен же репетитор уметь решать нестандартные задачи.

Ученик попался на удивление пробивной и вместе с вопросом прислал ссылку на самостоятельно найденное решение в интернете. Оно оказалось для него слишком сложным и непонятным, так как использовало свойство числовых рядов. Конечно, выпускнику 11 класса в них не разобраться, и поэтому Ваш покорный слуга принялся за дело. Интересно было бы не просто найти доступное для школьника решение задачи и опубликовать его в готовом виде, а показать, каким образом репетитор по математикеищет решения нестандартных задач. Хотелось описать ход своих мыслей.

Итак, нужно сравнить e^\pi и \pi^e Как я размышлял?

Понятно, что вычислять «в лоб» нереально, а калькулятор в таких случаях применять запрещается. Думаю так: скорее всего необходимо растащить показатели и основания степеней, по ходу меняя сравнение на что-то равносильное. Иначе во множестве элементарных функций мы не найдем ту самую функцию, которая поможет сравнить числа на основании свойств своей монотонности. Разорвать термоядерную иррациональную парочку можно только при вычислении логарифма. Поэтому я сразу же прологарифмировал степени устремил мысль в направлении ln{(e^{\pi})} и ln{(\pi^e)}. Основание логарифма было выбрано не случайно. Сказалось присутствие экспоненты.

Задача свелась к сравнению чисел \pi и eln{\pi}. Далее я заметил, что замена в их записях \pi на e дает равные числа. Как бы это использовать? Держу в уме главную идею: если у задания есть элементарное решение, то рано или поздно придется ввести какую-нибудь монотонную функцию. Это явно не y=elnx так как число \pi не является значением в удобной для сравнения с \pi точке. Тем не менее выявленное равенство результатов, наверное, необходимо как-то использовать. Как?

Вспоминаю, что доказательство какого-либо неравенства в математике равносильно доказательству того, что разность рассматриваемых чисел имеет определенный знак. А это все равно, что сравнивать разность \pi - e \cdot ln{\pi} с нулем. Именно он получается при замене в ней числа \pi на число e. Как теперь должен действовать репетитор по математике? Конечно же рассматривать функцию f(x)=x-e \cdot lnx и доказывать ее монотонность при x\geqslant e. Если функция окажется возрастающей, то так как \pi > e, то f(\pi) > f(e) и поэтому получаем, что \pi - e \cdot ln{\pi} >0.

Осталось найти производную и проверить, что y=f(x) возрастает при x\geqslant 0. Имеем f. Очевидно, что если x>e, то \frac{x-e}{x}>0. Следовательно f(x) возрастает на промежутке [e;+\infty). Поэтому \pi >e \cdot ln{\pi} и следовательно е в степени пи больше чем пи в степени е е в степени пи против пи в степени е

Удаляя все рассуждения решение задачи запишем его компактно:
Схема решения репетитора по математикеВесь процесс занял около 10-15 минут и большую его часть я думал. Не могу сказать, что каждый репетитор по математике обязан уметь консультировать ученика по заданиям олимпиадного характера, но знать о некоторых приемах размышлений ему было бы полезно.

С уважением, Колпаков Александр Николаевич.
репетитор по математике в Москве,
Профессиональный репетитор в Строгино, м.Щукинская.

{ 11 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Кирилл февраля 27, 2012 в 8:27

Очевидно, 2.7 ^ 3.14 > 3.14 ^ 2.7

Колпаков А.Н. февраля 28, 2012 в 1:37

:) Да, это настолько же очевидно, как и то, что уравнение x^n+y^n=z^n при n>2 не имеет нетривиальных решений в целых числах (теорема Ферма) :))))

Наталья декабря 6, 2013 в 11:08

Добрый день, Александр Николаевич! Наткнулась на ваше решение, решая свой пример ))) Понравился Ваш ход мыслей :) Наша задача такая: что больше 2006^2007 или 2007^2006. Сложность в том, что задача дана ученикам 9 класса. Не могу придумать, как решить ее со знаниями учеников, которые еще не знают логарифмов и замечательных пределов (с помощью предела красиво решается :)?

Николай Сысойлов января 13, 2014 в 6:34

Мое решение:
1) pi > e,
2) ln(pi) > ln(e),
3) e*ln(pi) > e*ln(e),
4) вычтем из 1) — 3):
pi — e*ln(pi) > e — e*ln(e) =0,
5) pi — e*ln(pi) > 0,
6) pi > e*ln(pi),
7) pi > ln(pi^e)
8) ln(e^pi) > ln(pi^e)
9) e^pi > pi^e

Марк Болдырев января 19, 2014 в 19:22

Здесь есть один нюанс: надо, чтобы доказывающий имел бы представление о двух вещах: связи монотонности функции и производной. В противном случае надо исхитриться, чтобы доказать, что разница между пи и е, умноженное на натуральный логарифм пи, больше, чем разница между е и е, умноженное на натуральный логарифм е, то есть более нуля. Само по себе, без привлечения представления о монотонности возрастания указанной функции это — никак не очевидно.

Екатерина ноября 22, 2014 в 11:11

Большое спасибо за решение. Не подскажете, из какого учебника или сборника олимпиадных задач по математике взято данное задание? Заранее спасибо.

Колпаков А.Н. ноября 22, 2014 в 14:01

Не могу сказать в каких именно книжках встречается данная задача. Да и зачем ее искать, если она уже найдена :))) Вопрос о сравнении данных чисел был задан знакомому репетитору по математике одним из его учеников. Задачу переслали мне и после недолгих размышлений я оформил ее решение на сайте. Более ничего не знаю.

Николай января 27, 2015 в 16:27

Старая задача. Основное в ней — сравнение роста логарифма с линейной функцией

Сергей марта 10, 2015 в 20:50

Комментарий по решению Игоря Сысойлова: из того, что а>b и c>d следует, что а+b>c+d, но не следует, что a-b>c-d. Поэтому вывод из п.4 (вычтем из 1)-3)-неверен.
т.е. 4>2 3>0, но 4-3<2-0

Игорь июня 6, 2015 в 6:21

Уважаемый Николай Сысойлов, действие, которое вы делаете в п 4 своего доказательства, делать нельзя.
Краткая иллюстрация:
10 > 7
5 > 1
Значит, по вашей логике 10 — 5 > 7 — 1, т.е. 5 > 6

Просто человек января 2, 2016 в 5:14

Ув. Николай Сысойлов; Ваше решение хоть и элегантно, и лаконично, но имхо неверно, т. к. пункт 4) необоснован;
А в Вашем случае Наталья, я бы рассмотрел дробь А^(A+1)/(A+1)^A и показал что она больше чем
(A-1)^A/A^(A-1) (восьмикласнику под силу); этим будет доказано что последовательность Х^(X+1)/(X+1)^X — возрастающая, а надо доказать что ее члены (хотябы для Х>=2006) больше единицы, а это следует из того что 3^4/4^3=81/64>1 (это третий член последовательности, хотя первые два меньше единицы)

Оставьте комментарий