Недавно ко мне обратился один школьник с вопросом о сравнении двух чисел. Нужно было выяснить, что больше: е в степени пи или пи в степени е? Красивое сочетание. Не правда ли? Репетитор по математике, который с ним занимался весь год, не смог справиться с такими иррациональностями, а мне всегда было интересно повозиться с теми номерами, которые у кого-либо не получились. Должен же репетитор уметь решать нестандартные задачи.
Ученик попался на удивление пробивной и вместе с вопросом прислал ссылку на самостоятельно найденное решение в интернете. Оно оказалось для него слишком сложным и непонятным, так как использовало свойство числовых рядов. Конечно, выпускнику 11 класса в них не разобраться, и поэтому Ваш покорный слуга принялся за дело. Интересно было бы не просто найти доступное для школьника решение задачи и опубликовать его в готовом виде, а показать, каким образом репетитор по математикеищет решения нестандартных задач. Хотелось описать ход своих мыслей.
Итак, нужно сравнить 
и 
Как я размышлял?
Понятно, что вычислять «в лоб» нереально, а калькулятор в таких случаях применять запрещается. Думаю так: скорее всего необходимо растащить показатели и основания степеней, по ходу меняя сравнение на что-то равносильное. Иначе во множестве элементарных функций мы не найдем ту самую функцию, которая поможет сравнить числа на основании свойств своей монотонности. Разорвать термоядерную иррациональную парочку можно только при вычислении логарифма. Поэтому я сразу же прологарифмировал степени устремил мысль в направлении 
и 
. Основание логарифма было выбрано не случайно. Сказалось присутствие экспоненты.
Задача свелась к сравнению чисел 
и 
. Далее я заметил, что замена в их записях на 
дает равные числа. Как бы это использовать? Держу в уме главную идею: если у задания есть элементарное решение, то рано или поздно придется ввести какую-нибудь монотонную функцию. Это явно не 
так как число не является значением в удобной для сравнения с точке. Тем не менее выявленное равенство результатов, наверное, необходимо как-то использовать. Как?
Вспоминаю, что доказательство какого-либо неравенства в математике равносильно доказательству того, что разность рассматриваемых чисел имеет определенный знак. А это все равно, что сравнивать разность 
с нулем. Именно он получается при замене в ней числа на число . Как теперь должен действовать репетитор по математике? Конечно же рассматривать функцию 
и доказывать ее монотонность при 
. Если функция окажется возрастающей, то так как > , то 
> 
и поэтому получаем, что > 
Осталось найти производную и проверить, что 
возрастает при 
. Имеем 
. Очевидно, что если x>e, то 
> . Следовательно 
возрастает на промежутке 
. Поэтому 
>
и следовательно е в степени пи больше чем пи в степени е 
Удаляя все рассуждения решение задачи запишем его компактно:
Весь процесс занял около 10-15 минут и большую его часть я думал. Не могу сказать, что каждый репетитор по математике обязан уметь консультировать ученика по заданиям олимпиадного характера, но знать о некоторых приемах размышлений ему было бы полезно.
С уважением, Колпаков Александр Николаевич.
репетитор по математике в Москве,
Профессиональный репетитор в Строгино, м.Щукинская.
{ 13 комментариев… прочтите их или напишите еще один }
Очевидно, 2.7 ^ 3.14 > 3.14 ^ 2.7
:) Да, это настолько же очевидно, как и то, что уравнение x^n+y^n=z^n при n>2 не имеет нетривиальных решений в целых числах (теорема Ферма) :))))
Добрый день, Александр Николаевич! Наткнулась на ваше решение, решая свой пример ))) Понравился Ваш ход мыслей :) Наша задача такая: что больше 2006^2007 или 2007^2006. Сложность в том, что задача дана ученикам 9 класса. Не могу придумать, как решить ее со знаниями учеников, которые еще не знают логарифмов и замечательных пределов (с помощью предела красиво решается :)?
Мое решение:
1) pi > e,
2) ln(pi) > ln(e),
3) e*ln(pi) > e*ln(e),
4) вычтем из 1) — 3):
pi — e*ln(pi) > e — e*ln(e) =0,
5) pi — e*ln(pi) > 0,
6) pi > e*ln(pi),
7) pi > ln(pi^e)
8) ln(e^pi) > ln(pi^e)
9) e^pi > pi^e
Здесь есть один нюанс: надо, чтобы доказывающий имел бы представление о двух вещах: связи монотонности функции и производной. В противном случае надо исхитриться, чтобы доказать, что разница между пи и е, умноженное на натуральный логарифм пи, больше, чем разница между е и е, умноженное на натуральный логарифм е, то есть более нуля. Само по себе, без привлечения представления о монотонности возрастания указанной функции это — никак не очевидно.
Большое спасибо за решение. Не подскажете, из какого учебника или сборника олимпиадных задач по математике взято данное задание? Заранее спасибо.
Не могу сказать в каких именно книжках встречается данная задача. Да и зачем ее искать, если она уже найдена :))) Вопрос о сравнении данных чисел был задан знакомому репетитору по математике одним из его учеников. Задачу переслали мне и после недолгих размышлений я оформил ее решение на сайте. Более ничего не знаю.
Старая задача. Основное в ней — сравнение роста логарифма с линейной функцией
Комментарий по решению Игоря Сысойлова: из того, что а>b и c>d следует, что а+b>c+d, но не следует, что a-b>c-d. Поэтому вывод из п.4 (вычтем из 1)-3)-неверен.
т.е. 4>2 3>0, но 4-3<2-0
Уважаемый Николай Сысойлов, действие, которое вы делаете в п 4 своего доказательства, делать нельзя.
Краткая иллюстрация:
10 > 7
5 > 1
Значит, по вашей логике 10 — 5 > 7 — 1, т.е. 5 > 6
Ув. Николай Сысойлов; Ваше решение хоть и элегантно, и лаконично, но имхо неверно, т. к. пункт 4) необоснован;
А в Вашем случае Наталья, я бы рассмотрел дробь А^(A+1)/(A+1)^A и показал что она больше чем
(A-1)^A/A^(A-1) (восьмикласнику под силу); этим будет доказано что последовательность Х^(X+1)/(X+1)^X — возрастающая, а надо доказать что ее члены (хотябы для Х>=2006) больше единицы, а это следует из того что 3^4/4^3=81/64>1 (это третий член последовательности, хотя первые два меньше единицы)
Эта задача была в сборнике Московских олимпиад. Решения там не приводилось.
Но простейший путь — рассмотреть две функции e^x и x^e.
Оказывается их графики касаются друг друга только с точке x=e . А в остальных точках первая функция идет выше. Факт сам по себе — поразительный! Дальнейшее — просто.
Да, Александр, касательная у них совпадает в точке e. Ну и что дальше? Вопрос не в касательной, а в том, почему график первой функции выше? Только потому, что показательная функция растет быстрее любой степенной? Но этот обгон состоится только с определенного момента. А с какого?