Репетитор о доказательстве редкого признака параллелограмма

by Колпаков А.Н. on 29 октября 2015

Недавно на мой e-mail пришел интересный запрос на объяснение доказательства редкого признака параллелограмма: докажите, что четырехугольник является параллелограммом, если точка пересечения его средних линии совпадает с точкой пересечения его диагоналей.

Запрос показался очень ценным, ибо данного признака нет ни в одном школьном учебнике, а репетитор по математике периодически обращается к дополнительным главам и разделам планиметрии на редких занятиях с «продвинутыми» учениками.

Необходимо сразу разъяснить термин, которого нет в обычной школьной программе по математике — «средняя линия четырехугольника». Имеется только аналогичное понятие для треугольника и трапеции. В случае произвольного четырехугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его противоположных сторон.

Средняя линия четырехугольника на уроке с репетитором по математике

Итак, пусть дан четырехугольник ABCD и O — точка пересечения его диагоналей и средних линий. Докажем, что ABCD — параллелограмм.
Допустим, что ABCD не является параллелограммом и придем к противоречию.

Рисунок репетитора по математике к признаку параллелограмма

Пусть P – середина AC и K- середина BD, причем P не совпадает с K (так как ABCD не является параллелограммом по нашему предположению).

Рассмотрим одну среднюю линию, а именно линию MN. Замечаем, что MK – средняя линия в \triangle ABD и PN – средняя линия в \triangle ACD . Поэтому MK \parallel AD и PN \parallel AD \implies MK \parallel  PN. Аналогично MP \parallel  KN. Отсюда MPNK – параллелограмм \implies MN пересекает отрезок PK в его середине.

Центральная часть доказательства репетитора

Аналогично можно доказать, что средняя линия HE четырехугольника ABCD, проходящая через середины сторон AD и BC, также пересекает отрезок PK в его середине. Поэтому общая точка средних линий ABCD является серединой PK. Но по условию такая точка является точкой О пересечения диагоналей AC и ВD. Тогда O, P и K лежат на одной прямой. Значит P \in BD и K \in AC . Поэтому P и K совпадают с O, что противоречит условию о том, что P и K различные. Поэтому ABCD — параллелограмм.

P.S. Когда репетитору по математике попадается на глаза что то внепрограммное, то кажется, что ни с кем из учеников не придется рассматривать данный материал. Однако встречаются любознательные детки, с которые рады отправиться увлекательное путешествие по волнам дополнительной математики. На мое счастье такие ученики регулярно приходят. Я рад что и среди посетителей моего сайта находятся те, кто интересуется предметом за рамками обязательного программного минимума.

С уважением, репетитор по математике Колпаков А.Н. Занятия с изучением дополнительных глав планиметрии в Москве. Строгино (м.Щукинская)

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий