Как репетитор по математике решает задачу на шестиугольник

Поделюсь самым простым подходом к задаче о шестиугольнике, которое репетитор по математике совершенно спокойно может показывать даже слабым ученикам 7 класса. Ибо в решении нет ничего сложного. Просто нужно догадаться сделать некоторые дополнительные построения.

Условие задачи:
Все углы в шестиугольнике ABCDEF равны по 120 градуcов. Известно, что EF=1, AB=3, BC=4, CD=1. Найдите AF+DE.

Какое решение рекомендует репетитор по математике:

Требуются продления сторон фигуры. Они напрашиваются, если заметить, что число, дополняющее до , является очень полезным углом в . Подобными наблюдениями репетитор по математике подводит ученика 7 класса самостоятельному выбору необходимого дополнительного построения.

Итак, продлим стороны FA, СВ и ED. В этом случае к нашему шестиугольнику дополнительно прикрепятся 3 треугольника. Определим их вид.

Так как все внутренние углы шестиугольника равны по 120 градусов, то все внешние с ними углы содержат по 60 градусов последний угол в каждом треугольнике равен 60 град. все треугольники и — равносторонние. Отсюда можно сделать вывод, что CN=ND=5, AK=BK=3 и MF=EM=1. Тогда KM=3+4+5=12.

Пользуемся тем, что MN=KN=12 получаем, что
ED=MN-ME-DN=12-1-5=6
AF=MK-MF-AK=12-1-3=8

Теперь проще простого найти нужную сумму: ED+AF=6+8=14
Ответ: 14

Необходимые сведения и темы для понимания решения репетитора:
1) Смежные углы. Теорема о смежных углах.
2) Сумма углов в треугольнике.
3) Определение и признак равностороннего треугольника.

Альтернативное решение:
1) через терему синусов и косинусов
2) через продление других сторон шестиугольника (для понимания и внимания ученика этот способ немного сложнее)

Репетитор по математике о путях решения подобных зада:
Когда я читаю в вопросе серьезной олимпиадной задачи по математике «найдите сумму длин отрезков», то невольно начинаю предполагать, что по отдельности эти отрезки не находятся никак. Это часто случается с задачами на «плавающие» элементы рисунка. Каждый из них не ищется, но вот их сумма, например, остается всегда постоянной величиной. Независимо от значений тех параметров, которые меняются в рамках условия задачи. В таком случае репетитору по математике необходимо поискать какой-нибудь отрезок, равный FA или ED, образующий единой целое со вторым. Иными словами занимаются поиском возможностей переложить один отрезок «с одного места на другое». Полученную сумму и ищут.

Другой путь — репетитор по математике вводит две переменные для искомых величин и составляет с ними некое равенство, из которого «выплывает» нужная сумма. Здесь, к счастью, такой заморочки не попалось, ибо формат конкурса «Кенгуру» для 7 класса предлагает выборку ответа и весьма ограниченное время на решение варианта в целом (всего лишь 75 минут чистого времени).

Репетитор по математике А.Н. Колпаков. Москва, Строгино.