Олимпиадные задачи по математике 6 класс из ВМШ лицея Вторая Школа — четность и чередование
Публикую задачи с занятия в ВМШ лицея Втора школа, которые приносят от туда мои ученики. Как правило, приходится их повторно разбирать, часто переделывая и вычищая от лишнего и не пригодного к использованию по возрасту.Эту функция репетитору по математике довольно часто приходится выполнять.
1) Курс акций некоторой компании в каждый полдень повышается или понижается на 17%. Может ли он хотя бы 2 раза принять одно и тоже значение?
2) На прямой отметили 45 точек за пределами отрезка AB. Может ли сумма расстояний от этих точек до А быть равной сумме расстояний от них до В?
3) Незнайка записал по кругу 11 натуральных чисел, а затем вычислил 11 разностей во всех парах соседей. Мог ли он получить такие разности 1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3 ?
4) Доска имеет размеры 5 кл х 5 кл. Петя расположил на ней 17 шашек с симметричным расположением относительно обеих диагоналей. Докажите, что какая то шашка обязательно у него будет стоять в центральной клетке.
5) На бесконечном хоккейном поле (без бортиков) лежат 3 шайбы. При каждом ударе нужно, чтобы шайба пролетела между двумя другими шайбами. Возможно ли за 2023 удара вернуть все 3 шайбы на исходные места (каждая на свое место)?
6) В ряд выписали 81 натуральное число. Оказалось, что сумма во всех парах соседних чисел положительна, а сумма всех чисел ряда, взятых по одному, отрицательно. Каким может быть произведение всех этих чисел?
7) Может ли прямая пересечь все стороны 2023 — угольника, если она не будет проходить ни через одну из его вершин? Решите эту задачу для 2024-угольника.
Комментарий репетитора по математике: Стоит отметить, что качество подборки задач оставляет желать лучшего. Во-первых, в первом номере нет прямого соответствия теме «четность». Да и чередования, как такового, тоже нет. Номер взят с олимпиады турнира городов сезона 2003/2004 для более старшего возраста, причем в оригинальной формулировке не было 17%, а вопрос ставился общий — может ли совпасть при неизвестном, меньшем чем 100, но целым количеством процентов. Решение использует аппарат степеней и элементы теории делимости. Да, внутри решения используется делимость на два, но сочетании с буквенными степенями, в 6 классе такие решения показывать. Компилятор задач на урок взял и заменил произвольные n % на 17%. Тогда задача действительно может использоваться как олимпиадная для 6 класса, но тогда решение, по крайне мере то, которое я вижу, никак не использует четность. Просто при умножении начального курса акций (А рублей) на 1,17 или на 0,83 каждый раз будет расти количество знаков после запятой в коэффициенте перед А. Поэтому коэффициент 1 никогда не получится.
В задаче про Незнайку, решение которой принес из лицея Вторая Школа мой шестиклассник, использовались отрицательные числа. Просто заменяли в разностях некоторые числа на противоположные, добиваясь того, чтобы сумма всех разностей была равной нулю. От таких замен четность не менялась, а поэтому сумма 1+1+1+1+2+2+2+2+3+3+3 имела ту же четность, что и ноль, а это противоречие. Но дети еще ни по какой программе не проходили отрицательных числе (сейчас конец октября). Это еще один довод в пользу занятий с репетитором по математике. Курсы никогда не обращают внимание на то, что дети походят в данный момент в своих школах. И задачи хватают на урок, как правило, очень не оптимально, не прорабатывая их пригодность к использованию в данный учебный период.
Я удивляюсь на то, почему преподаватель ВМШ, делегированный лицеем Вторая Шола не нашел более простого и пригодного решения. Допустим такие разности получены. Тогда заставим Незнайку вместо них найти 11 парных сумм. Сумма и разность имеют одинаковую четность. Следовательно у него получится 7 нечетных сумм и 4 четные. Найдем сумму всех сумм. В нее каждое число круга войдет по 2 раза. Тогда она должна быть четной. Но семь нечеток + 4 четки будут давать нечетную сумму. Противоречие. Значит не смог составить такой круг.И никаких отрицательных чисел в решении репетитора нет. Просто и не залезая в следующие темы по программе.
С уважением, Колпаков А.Н. Репетитор по математике. Индивидуальные занятия по подготовки в Лицей Вторая школа в Строгино. Не затягивайте. Звоните и записывайтесь на регулярные уроки. Свободное время для новых учеников часто ограничено.
