Подготовка к ЕГЭ по математике: репетитор решает Ваши задачи С5

Вопрос репетитору по математике от Аси: Объясните пожалуйста, как решить C5. Найти всеизначения а, при каждом из которых уравнение | \frac{6}{x}-3|=ax-1 на промежутке (0;+∞) имеет более двух корней.

Решение. Лучше всего решать уравнение графически. Его левая части — фиксированная функция, для построения которой нужно сначала изобразить график гиперболы y=\dfrac{6}{x} , затем сдвинуть его вниз на 3. Мы получим линию y=\dfrac{6}{x}-3 . Вы можете увидеть окончательную картинку для данного построения (сдвинутую гиперболу) справа на на рисунке 1. Интересующий нас график выделен синим цветом.
Репетитор по математике строит график левой части. Рис 1 Навешивание модуля приводит к тому, что все кусочки графика функции, расположенные ниже оси Ох, как бы «заворачиваются вверх». Если выполнить данное преобразование — мы получим линию, изображенную на рисунке 2. Она также выделена синим цветом. Поскольку нас интересуют только решения на промежутке от нуля до плюс бесконечности — можно не обращать внимания на ту часть плоскости, которая расположенна левее оси ОY. В итоге нужно рассмотреть синюю «галочку». График модуля - 2 этап решения репетитора по математике.Теперь рассмотрим правую часть. При каждом значении параметра он представляет собой прямую линию, проходящую через точку (0;-1). Изменение параметра приводит к повороту линии вокруг этой точки против часовой стрелки с ростом параметра а.

Очевидно, что для появления двух прересечений с «галочкой» нужно вращать линию до момента касания. Параметры, заключенные в этом интервале, с чистой совестью идут в ответ.Как репетитор по математике отбирает параметр На рисунке №3 показана область (красный угол), включающая в себя все такие прямые (кликните для увеличения). Параметр для нижней стороны красного угла, очевидно, равен 0,5. Осталось найти параметр, при котором прямая y=ax-1 будет касаться возрастающей части «галочки». Несложно определить, что эта часть галочки задается выражением f(x)= 3 - \dfrac{6}{x} при условии x>2. Пусть x_0 — точка касания. Выращим через x_0 уравнение касательной. Имеем f Тогда f и уравнение касательной примет вид:

y= \dfrac{6}{x_0^2}(x-x_0)+3-\dfrac{6}{x_0}
После преобразований:
y= \dfrac{6}{x_0^2}x +3 -\dfrac{12}{x_0}
Для того, чтобы это уравнение совпало с y=ax-1 необходимо и достаточно приравнять коэффициенты левых частей этих уравнений. Получим следующую систему для поиска параметра:
Система для поиска параметраРешая ее, найдем, что x_0=3, a= \frac{2}{3}. В итоге a \in (0,5;\frac{2}{3})

Репетитор по математике А.Н. Колпаков.

{ 1 комментарий… прочтите его или напишите еще один }

asya июня 27, 2012 в 22:18

Спасибо за подробное решение.

Оставьте комментарий