Подготовка к ЕГЭ по математике. Решение номера С1 с ЕГЭ 2012г

Продолжаю публиковать решения отдельных номеров С1 — С6 с последнего ЕГЭ по математике. Перед Вами, пожалуй, самая простая задача из «С» части (по тригонометрии) c первичным весом в 2 балла. Оформление развернутой части ЕГЭ репетитором по математике традиционн отличается от соответствующих образцов решений МИОО (как минимум в легких номерах). Так случилось и в этот раз: я не советую репетиторам нацеливать учеников на отбор корней исключительно по тригонометрическому кругу, ибо дуга, из которой выбираются углы, может быть достаточно далекой от нуля и не содержать найденных стандартным образом арксинусов или арккосинусов.

Условие задачи C1.

1 часть: Решить уравнение Cos2x+Sin^2x=0,25
2 часть: Найдите все его корни, принадлежащие отрезку \left [ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right ]

Как репетитор по математике советует решить С1::
Воспользуемся формулой двойного угла Cos2x=Cos^2x-Sin^2x и заменим первое слагаемое в уравнении на правую часть указанного равенства, получим:

Cos^2x-Sin^2x+Sin^2x=0,25

Уничтожая Sin^2x, приходим к простенькому уравнению:

Cox^2x=0,25

Оно в свою очередь распадается на два еще более простых уравнения, ответы которых надо просто найти и объединить.

Я советую репетиторам по математике разделять решение мелких уравнений друг от друга вертикальной линией и в каждой половинке листа вести соответствующие записи, то есть:
Как репетитор по математике разделяет решения

Обратим внимание на одну важную особенность рисунка: среди четырех полученных точек имеются две симметричных пары, а именно:

\dfrac{\pi}{3} и -\dfrac{2\pi}{3}

-\dfrac{\pi}{3} и \dfrac{2\pi}{3}

Как репетитор иллюстрирует симметрию точек

Поэтому ответ можно записать не четырьмя сериями, а всего лишь двумя:

x_{1/2}=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n

Это обстоятельство позволяет сильно упростить отбор корней аналитическим методом.

Часть №2.Решение, которое я видел от уважаемого МИОО удивило, мягко скажем, не самым удобным методом отбора корней. Авторы задания предлагают изобразить дугу \left [ 3\pi; \dfrac{9\pi}{2} \right ] и просто выявить точки серий x_{1/2}=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n, ей принадлежащие. Причем как это сделать не показано. Фактически идет прямой перебор значений n. Такой подход порождает большое количество ошибок у слабых и даже у средних учеников, с которыми репетитор по математике обычно работает. Я бы советовал и репетиторам и ученикам чаще пользоваться аналитикой и отсеивать углы через соответствующие двойные неравенства. В нашем случае оно будет выглядеть так:

3\pi \leqslant \pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n \leqslant \dfrac{9\pi}{2}

Конечно, необходимо разделить в формулах знаки «плюс» и «минус». Отдельно поработать сначала с углами вида \dfrac{\pi}{3}+\pi n, а затем проделать то же самое с серией -\dfrac{\pi}{3}+\pi n

Вытащим необходимые углы из формулы со знаком «+»:

3\pi \leqslant \dfrac{\pi}{3}+\pi n \leqslant \dfrac{9\pi}{2}

3\pi - \dfrac{\pi}{3} \leqslant \pi n \leqslant \dfrac{9\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3}

\dfrac{8\pi}{3} \leqslant \pi n \leqslant \dfrac{25\pi}{6}

Разделим обе части последнего неравенства на \pi:

\dfrac{8}{3} \leqslant n \leqslant \dfrac{25}{6}

Очевидо, что n_1=3, n_2=4. Теперь подставим эти значения в начальную формулу \dfrac{\pi}{3}+\pi n:

x_1 = \dfrac{\pi}{3}+\pi \cdot 3 = \dfrac{10\pi}{3}

x_2 = \dfrac{\pi}{3}+\pi \cdot 4 = \dfrac{13\pi}{3}

Поработав также с серией -\dfrac{\pi}{3}+\pi n, получим еще один корень

x_3= \dfrac{11\pi}{3}

Ответ: x_{1/2}=\pm \dfrac{\pi}{3}+\pi n, из которого в заданный отрезок попадают только

x_1 = \dfrac{10\pi}{3}; x_2 = \dfrac{13\pi}{3}; x_3= \dfrac{11\pi}{3}.

Критерии выставления баллов на ЕГЭ в задаче С1.
1) Получены оба ответа со всеми необходимыми обоснованиями — 2 балла
2) Получен правильный ответ в одной из частей — 1 балл
3) Оба ответа не верные — 0 баллов

Колпаков А.Н. Репетитор по математике Москва. Подготовка к ЕГЭ. Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий